Anpassungsdynamik

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Wie stets in der evolutorischen Spieltheorie betrachten wir hier eine Population, deren Individuen die Möglichkeit haben verschiedene Strategien zu spielen. Es treffen je zwei Individuen aufeinander und der Gewinn/Nutzen sei durch eine Matrix A wiedergegeben.

Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten Anpassungsprozesse zu formulieren.
Bei stetiger Modellierung der Zeit und bei einer großen Anzahl an Beteiligten kann die Veränderung im Verhalten jedoch annähernd durch ein System von Differentialgleichungen beschrieben werden:

xi' = Gi(x(t)) mit i=1,2,...,n 

n sei die Anzahl der möglichen reinen Strategien
xi(t) sei der Anteil der Bevölkerung, welcher zu einem bestimmten Zeitpunkt t die reine Strategie si wählt

xi' gibt also die (absolute) Veränderungsrate dieses Bevölkerungsanteils an. Ob xi' negativ oder positiv ist, also ob der Anteil xi zurückgeht oder wächst und wie stark die Veränderung ist, hängt von der Funktion G, welche also die Art der Dynamik charakterisiert, ab.
Dieses System von Differentialgleichungen definiert nun ausgehend von einem Anfangszustand xo eindeutig die Entwicklung der Bevölkerungsanteile.

Unterstellen wir identisches Anpassungsverhalten aller Individuen, so sind die Veränderungen proportional zum jeweiligen Bevölkerungsanteil, d.h.
xi' = xi g(x), wobei g die Wachstumsraten der Strategien bestimmt.

Da jedes Individuum das Ziel hat einen möglichst hohen Gewinn/Nutzen zu erreichen, es aber nur die aktuelle Auszahlung als Kriterium für seine Entscheidung nehmen kann, da in der evolutorischen Spieltheorie die common knowledge Annahme nicht erfüllt ist, sei die Funktion g monoton in den Auszahlungen:
Eine Strategie si, die zu größerem Erfolg führt, als eine andere Strategie sj wird relativ zu dieser häufiger gewählt.
Folgende Aussagen lassen sich nun machen:

  • Eine Anpassungsdynamik g heißt monoton, wenn eiTAx > ejTAx <=> gi(x) > gj(x) für alle x
  • Eine Anpassungsdynamik g heißt aggregiert monoton, wenn yAx > zAx <=> yg(x) > zg(x), wobei
    • yAx die durchschnittliche Auszahlung, welche die Gruppe mit Profil y erhält, sei
    • yg(x) die durchschnittliche Veränderungsrate sei

Der Begriff der aggregierten monotonen Anpassungsregel wurde von Samuelson und Zhang eingeführt, wenn es sich nicht um einen homogene Bevölkerungsanteil handelt. Diese Aussage ist jedoch "nur" lokal aufzufassen, da sich durch die Dynamik die Gruppenzusammensetzung, also auch die Auszahlung, ändert. Man kann zeigen, dass sich die aggregiert monotone Anpassungsregel in folgender Form darstellen lässt:
gi(x) = f(x)(eiTAx - xAx), wobei f(x) eine positive reelwertige Funktion ist.

Als Spezialfall, für f(x)=1, ist uns diese Anpassungsdynamik unter dem Namen Replikatordynamik (Replikatorgleichung) bekannt, bei der sich die Wachstumsrate der Bevölkerungsanteile als die Differenz zwischen eigener Auszahlung und Durchschnittsauszahlung ergibt.

Neben diesem Modell der Anpassungsdynamik, mit der Repliaktordynamik als Spezialfall, gibt es noch weitere

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