Auszahlungsfunktion
Die Auszahlungsfunktion eines Spiels gibt an, wie hoch der Gewinn (bzw. Verlust) für jeden Mitspieler am Ende des Spiels ist.
Je nach Spieltyp unterscheidet sich die Quelle Q, ihr Ziel jedoch ist bei einem Spiel mit N Spielern stets der 
. Der Wert der Auszahlungsfunktion ist also ein N dimensionaler Vektor, dessen k-te Komponente angibt, welche Auszahlung der Spieler k erhält.
Typischerweise wird die Auszahlungsfunktion mit u bezeichnet.
Oft verwendet man auch uk, wenn man nur die Auszahlung des Spielers k betrachten will. uk berechnet also die k-te Komponente von u
Betrachtet man also ein Spiel mit N Spielern, so gilt für die Auszahlungsfunktion:
- Spiele in Normalform: Sei G ein Spiel in Normalform mit N Spielern und habe der Spieler k die (endliche) Strategiemenge Sk
- Betrachtet man nur reine Strategien, so ist die Quelle der Auszahlungsfunktion das Produkt
- In gemischten Strategien ist der wesentliche Aspekt, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich die Spieler für eine Strategie aus ihrer Strategiemenge entscheiden. Ist also
die Strategiemenge von Spieler k und pk(si) die Wahrscheinlichkeit mit der Spieler k, die Strategie sk wählt (![p_k(s_i) \in [0,1], \sum_{i=1}^{m_k} p_k(s_i)=1](/wiki/images/math/5/a/0/5a06663a2dda7f60b7a5a8f0aefa46f0.png)
) und definiert man den Vektor 
, so wählt man als Quelle die Menge ![\Pi_{i=1}^N [0,1]^{m_i}](/wiki/images/math/6/4/0/64089d6cd38b946f992881d9a9ac8ed4.png)
und kann somit die Wahrscheinlichkeitsvektoren in die Auszahlungsfunktion einsetzen.
- Betrachtet man nur reine Strategien, so ist die Quelle der Auszahlungsfunktion das Produkt
Sind alle Vektoren pk Einheitsvektoren, so erhält man den Spezialfall der reinen Strategien. Ist also pk der i-te Einheitsvektor, so wählt Spieler k mit Wahrscheinlichkeit 1, also immer, die Strategie si
- Spiele in extensiver Form sind dadurch gekennzeichnet, daß die Spieler nacheinander Ziehen. Im Gegensatz zum Normalformenspiel ist das Spiel in extensiver Form also in der Regel nicht nach dem ersten Zug bereits zu Ende. Dies spiegelt sich darin wieder, daß als Quelle der Auszahlungsfunktion nun die Menge der Spielverläufe (Historien), die in einem Endknoten (also einem Knoten
enden dient.
- Für ein symmetrisches 2 Personenspiel in Normalform gilt insbesondere: Sind p und q die Wahrscheinlichkeitsvektoren für die Strategiewahl von Spieler 1 und Spieler 2 in gemischten Strategien und A die Auszahlungsmatrix, dann ist u1(p,q) = pTAq = u2(q,p)
