Bayesianisches Nash-Gleichgewicht

Aus Wikiludia
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Bayesianische Nash-Gleichgewicht wird auf ähnliche Weise im Artikel Bayes-Gleichgewicht definiert. In diesem Artikel hier findet man zusätzlich noch den Bezug zum erweiterten Strategiebegriffs und einige interessante Bemerkungen.

Motivation


Die Definition des Bayesianischen Nash-Gleichgewichts ist nur durch die Erweiterung des Strategiebegriffs im Artikel Strategie möglich.

Definition


Ein Strategientupel s * = (s * 1,...,s * N) ist ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht eines Spiels mit unvollständiger Information, wenn für alle i = 1,...,n und alle t_{i} \in T_{i} die
Aktion ai = s * i(ti) die erwartete Auszahlung \bar{u_{i}}(a_{i},s*_{-i},t_{i}) maximiert.

Bemerkungen


1) Die Idee ist genau dieselbe wie beim Nash-Gleichgewicht:
Gegeben die Strategien der Gegenspieler muss jeder Spieler eine beste Antwort wählen. Hinzu kommt lediglich, dass dies für jeden Typ eines Spielers gelten und dass der Erwartungswert über die Typen der anderen Spieler gebildet werden muss.

2) Bei gemischten Strategien muss zusätzlich für jedes Typenprofil ti der anderen Spieler der Erwartungswert über Aktionsprofile ai gebildet werden. Sei σk(ak | tk) die Wahrscheinlichkeit, mit der Spieler k vom Typ tk die Aktion ak wählt. Ist das Typenprofil ti, wird ai mit der Wahrscheinlichkeit \sigma_{-i}(a_{-i}|t_{-i})=\prod_{k\neq i}\sigma_{k}(a_{k}|t_{k}) gespielt. Die erwartete Auszahlung \bar{u_{i}}(a_{i},\sigma_{-i},t_{i}) für Spieleri vom Typ ti, wenn er ai wählt, ist somit
\sum_{t_{-i}\in T_{-i}} p_{i}(t_{-i}|t_{i})\sum_{a_{-i}\in A_{-i}} \sigma_{-i}(a_{-i}|t_{-i})u_{i}(a_{i},a_{-i},t_{i}).

3) σi ist genau dann eine beste Antwort auf σi, wenn für alle t_{i} \in T_{i} jede Aktion ai mit σi(ai | ti) > 0 die erwartete Auszahlung \bar{u_{i}}(a_{i},\sigma_{-i},t_{i}) maximiert.

4) In endlichen Spielen mit unvollständiger Information existiert stets ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht, eventuell in gemischten Strategien. Der Beweis ist fast identisch mit demjenigen bei vollständiger Information.

Meine Werkzeuge