Beste Antwort

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Die Menge der sogenannten besten Antworten hat in der Spieltheorie eine große Bedeutung insbesondere für die Analyse eines Spiels und für die Suche nach und dem Nachweis von [[Nash-Gleichgewicht]]en. Die '''beste Antwort''' wird dabei durch die Überlegung charakterisiert, mit welcher Strategie der eigene Nutzen unter Berücksichtigung der möglichen Strategien anderer Spieler maximiert werden kann.
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<math> u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\}</math>.
 
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== Existenz und Zusammenhang mit Nash-Gleichgewichten ==
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:Eine Strategiekombination  <math> s'  \in  S  </math> ist genau dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn <math> s' \in  r (s') </math>.
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:Sei <math> s' \in  r (s') </math>, das heißt, es gelte <math> \forall i: s'_i \in  r_i (s'_{-i}) </math>. Dann folgt aus der Definition <math> u_i(s') = max\ u_i(s^*_i,s_{-i}) </math>, also  <math> u_i(s') \ge u_i(s_i,s_{-i}) \forall s_i \in S_{i}, \forall s_i </math>, die Definition des [[Nash-Gleichgewicht]]s.
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: Sei s' ein [[Nash-Gleichgewicht]]. Dann gilt <math> u_i(s') \ge u_i(s_i,s_{-i}) \forall s_i \in S_{i}, \forall s_i </math>, also <math> \forall i: s'_i \in  r_i (s'_{-i}) </math>, woraus nach Definition natürlich  <math> s' \in  r (s') </math> folgt.
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:Da nach dem [[Existenz von Nash-Gleichgewichten|Satz von Nash]] in jedem endlichen Spiel in Normalform ein [[Nash-Gleichgewicht]] in gemischten Strategien existiert, folgert aus diesem Satz, dass auch in jedem endlichen Spiel in Normalform eine beste Antwort existiert.
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== Beispiele ==
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# Im Fall <math> u_j = 0 </math> sind alle Strategien beste Antworten (da trivialerweise <math>\forall s_i \in S_{i}: u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i})</math> für alle Strategien erfüllt ist.)
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# Im [[Gefangenendilemma]] ist für beide Spieler A (Aussagen) die jeweils beste Antwort sowohl auf S (Schweigen) als auch auf A:
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#:* <math> u_1 </math> (A, S) = 0 > -3 = <math>u_1</math> (S, S)
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#:* <math> u_1 </math> (A, A) = -8 > -10 = <math> u_1</math> (S, A)
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#: (Die Haftstrafen wurden als negative Konsequenz zum leichteren Verständnis mit negativen Jahresangaben versehen; für Spieler 2 analog)
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# Wie viele Lösungen basiert auch die Lösung im [[Oligopole:Cournot-Duopol|Cournot-Duopol]] auf dem Prinzip der besten Antwort.
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== Weitere Differenzierung ==
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Vergleichbar mit der Unterscheidung von strikter und schwacher Dominanz kann man auch die Menge der besten Antworten in zwei Untermengen, die Menge der starken besten Antworten und die der schwachen besten Antworten aufgespalten werden.
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=== Starke beste Antwort ===
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Definition:
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=== Schwache beste Antwort ===
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== Quellen ==
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* Riechmann, Thomas: Spieltheorie, Vahlen, München, 2., vollst. überarb. Aufl. 2007, ISBN 978-3-800-63505-4
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* Schlee, Walter: Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1. Aufl. 2004, ISBN 3-528-03214-6

Version vom 28. November 2008, 19:47 Uhr

Der Artikel wird gerade überarbeitet und noch heute fertig ergänzt!

Inhaltsverzeichnis

Motivation

Die Menge der sogenannten besten Antworten hat in der Spieltheorie eine große Bedeutung insbesondere für die Analyse eines Spiels und für die Suche nach und dem Nachweis von Nash-Gleichgewichten. Die beste Antwort wird dabei durch die Überlegung charakterisiert, mit welcher Strategie der eigene Nutzen unter Berücksichtigung der möglichen Strategien anderer Spieler maximiert werden kann.


Definition

In einem Normalformenspiel heißt eine Strategie \quad \hat s_i \in S_i für Spieler i \in M=\{1,\ldots ,N\} beste Antwort auf s_{-i} \in S_{-i}, genau dann wenn \forall s_i \in S_{i}: \quad u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i}).
Anders geschrieben:  \hat s_i ist beste Antwort auf s_{-i} \in S_{-i}, genau dann wenn  u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\}.


Existenz und Zusammenhang mit Nash-Gleichgewichten

Satz
Eine Strategiekombination  s'  \in  S  ist genau dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn  s' \in  r (s') .
Beweis
Sei  s' \in  r (s') , das heißt, es gelte  \forall i: s'_i \in  r_i (s'_{-i}) . Dann folgt aus der Definition  u_i(s') = max\ u_i(s^*_i,s_{-i}) , also  u_i(s') \ge u_i(s_i,s_{-i}) \forall s_i \in S_{i}, \forall s_i , die Definition des Nash-Gleichgewichts.
Sei s' ein Nash-Gleichgewicht. Dann gilt  u_i(s') \ge u_i(s_i,s_{-i}) \forall s_i \in S_{i}, \forall s_i , also  \forall i: s'_i \in  r_i (s'_{-i}) , woraus nach Definition natürlich  s' \in  r (s') folgt.
Folgerung
Da nach dem Satz von Nash in jedem endlichen Spiel in Normalform ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien existiert, folgert aus diesem Satz, dass auch in jedem endlichen Spiel in Normalform eine beste Antwort existiert.


Beispiele

  1. Im Fall uj = 0 sind alle Strategien beste Antworten (da trivialerweise \forall s_i \in S_{i}: u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i}) für alle Strategien erfüllt ist.)
  2. Im Gefangenendilemma ist für beide Spieler A (Aussagen) die jeweils beste Antwort sowohl auf S (Schweigen) als auch auf A:
    • u1 (A, S) = 0 > -3 = u1 (S, S)
    • u1 (A, A) = -8 > -10 = u1 (S, A)
    (Die Haftstrafen wurden als negative Konsequenz zum leichteren Verständnis mit negativen Jahresangaben versehen; für Spieler 2 analog)
  3. Wie viele Lösungen basiert auch die Lösung im Cournot-Duopol auf dem Prinzip der besten Antwort.


Weitere Differenzierung

Vergleichbar mit der Unterscheidung von strikter und schwacher Dominanz kann man auch die Menge der besten Antworten in zwei Untermengen, die Menge der starken besten Antworten und die der schwachen besten Antworten aufgespalten werden.


Starke beste Antwort

Definition:


Schwache beste Antwort

Definition:


Quellen

  • Riechmann, Thomas: Spieltheorie, Vahlen, München, 2., vollst. überarb. Aufl. 2007, ISBN 978-3-800-63505-4
  • Schlee, Walter: Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1. Aufl. 2004, ISBN 3-528-03214-6
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