Beste Antwort

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In einem Normalformenspiel heißt eine Strategie <math>\quad \hat s_i \in S_i</math> für Spieler <math>i \in M=\{1,\ldots ,N\}</math>  ''beste Antwort'' auf <math>s_{-i} \in S_{-i}</math>, genau dann wenn
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In einem Normalformenspiel heißt eine Strategiekombination <math>\quad \hat s_i \in S_i</math> für Spieler <math>i \in M=\{1,\ldots ,N\}</math>  '''beste Antwort''' auf <math>s_{-i} \in S_{-i}</math>, genau dann wenn
 
<math>\forall s_i \in S_{i}: \quad u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i})</math>. <br>
 
<math>\forall s_i \in S_{i}: \quad u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i})</math>. <br>
 
Anders geschrieben: <math> \hat s_i</math> ist beste Antwort auf <math>s_{-i} \in S_{-i}</math>, genau dann wenn
 
Anders geschrieben: <math> \hat s_i</math> ist beste Antwort auf <math>s_{-i} \in S_{-i}</math>, genau dann wenn
<math> u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\}</math>.
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:Eine mengenwertige Abbildung <math> r_i : S_{-i} \rightarrow \mathfrak {P}(S_i) </math>  mit den Funktionswerten <math> r_i (s_{-i}) </math> := {<math> u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\} </math>} heißt '''Abbildung <math> r_i </math> der besten Antwort''' für den Spieler i.
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;Definition 2:
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:Eine mengenwertige Funktion, deren Funktionswert das kartesische Produkt der Funktionswerte der <math> r_i </math> aus Definition 1, i = 1, ... , m, 
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:<math> r : S \rightarrow \prod_{i=1}^m \mathfrak {P}(S_i) </math> mit den Funktionswerten <math> r(s) := (r_1(s_{-1}), \ldots, r_m (s_{-m}) </math> heißt '''Abbildung r der besten Antwort'''.
  
  
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== Beispiele ==
 
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# Im Fall <math> u_j = 0 </math> sind alle Strategien beste Antworten (da trivialerweise <math>\forall s_i \in S_{i}: u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i})</math> für alle Strategien erfüllt ist.)
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# Im Fall <math> u_j = 0 </math> sind alle Strategien beste Antworten, da trivialerweise <math>\forall s_i \in S_{i}: u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i})</math> für alle Strategien erfüllt ist.
 
# Im [[Gefangenendilemma]] ist für beide Spieler A (Aussagen) die jeweils beste Antwort sowohl auf S (Schweigen) als auch auf A:  
 
# Im [[Gefangenendilemma]] ist für beide Spieler A (Aussagen) die jeweils beste Antwort sowohl auf S (Schweigen) als auch auf A:  
 
#:* <math> u_1 </math> (A, S) = 0 > -3 = <math>u_1</math> (S, S)
 
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# Sei <math> b_i (s_i) \not= \emptyset \quad \forall s_i \in S_{i} </math> und <math> \forall i </math>. Hier kann man <math> r_i (s_{-i}) \in b_i (s_{-k}) </math> auswählen. Die Funktion <math> r_i : S_{-i} \rightarrow S_{i} </math> ist dann eine feste beste Antwort Funktion.
  
  
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== Quellen ==
 
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* Riechmann, Thomas: Spieltheorie, Vahlen, München, 2., vollst. überarb. Aufl. 2007, ISBN 978-3-800-63505-4
 
* Riechmann, Thomas: Spieltheorie, Vahlen, München, 2., vollst. überarb. Aufl. 2007, ISBN 978-3-800-63505-4
 
* Schlee, Walter: Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1. Aufl. 2004, ISBN 3-528-03214-6
 
* Schlee, Walter: Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1. Aufl. 2004, ISBN 3-528-03214-6

Version vom 28. November 2008, 21:29 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Motivation

Die Menge der sogenannten besten Antworten hat in der Spieltheorie eine große Bedeutung insbesondere für die Analyse eines Spiels und für die Suche nach und dem Nachweis von Nash-Gleichgewichten. Die beste Antwort wird dabei durch die Überlegung charakterisiert, mit welcher Strategie der eigene Nutzen unter Berücksichtigung der möglichen Strategien anderer Spieler maximiert werden kann.


Definitionen

Definition

In einem Normalformenspiel heißt eine Strategiekombination \quad \hat s_i \in S_i für Spieler i \in M=\{1,\ldots ,N\} beste Antwort auf s_{-i} \in S_{-i}, genau dann wenn \forall s_i \in S_{i}: \quad u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i}).
Anders geschrieben:  \hat s_i ist beste Antwort auf s_{-i} \in S_{-i}, genau dann wenn  u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\} .


Definition der Abbildung der besten Antwort

Definition 1
Eine mengenwertige Abbildung  r_i : S_{-i} \rightarrow \mathfrak {P}(S_i) mit den Funktionswerten ri(si) := { u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\} } heißt Abbildung ri der besten Antwort für den Spieler i.


Definition 2
Eine mengenwertige Funktion, deren Funktionswert das kartesische Produkt der Funktionswerte der ri aus Definition 1, i = 1, ... , m,
 r : S \rightarrow \prod_{i=1}^m \mathfrak {P}(S_i) mit den Funktionswerten  r(s) := (r_1(s_{-1}), \ldots, r_m (s_{-m}) heißt Abbildung r der besten Antwort.


Existenz und Zusammenhang mit Nash-Gleichgewichten

Satz
Eine Strategiekombination  s'  \in  S  ist genau dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn  s' \in  r (s') .
Beweis
Sei  s' \in  r (s') , das heißt, es gelte  \forall i: s'_i \in  r_i (s'_{-i}) . Dann folgt aus der Definition  u_i(s') = max\ u_i(s^*_i,s_{-i}) , also  u_i(s') \ge u_i(s_i,s_{-i}) \forall s_i \in S_{i}, \forall s_i , die Definition des Nash-Gleichgewichts.
Sei s' ein Nash-Gleichgewicht. Dann gilt  u_i(s') \ge u_i(s_i,s_{-i}) \forall s_i \in S_{i}, \forall s_i , also  \forall i: s'_i \in  r_i (s'_{-i}) , woraus nach Definition natürlich  s' \in  r (s') folgt.
Folgerung
Da nach dem Satz von Nash in jedem endlichen Spiel in Normalform ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien existiert, folgert aus diesem Satz, dass auch in jedem endlichen Spiel in Normalform eine beste Antwort existiert.


Beispiele

  1. Im Fall uj = 0 sind alle Strategien beste Antworten, da trivialerweise \forall s_i \in S_{i}: u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i}) für alle Strategien erfüllt ist.
  2. Im Gefangenendilemma ist für beide Spieler A (Aussagen) die jeweils beste Antwort sowohl auf S (Schweigen) als auch auf A:
    • u1 (A, S) = 0 > -3 = u1 (S, S)
    • u1 (A, A) = -8 > -10 = u1 (S, A)
    (Die Haftstrafen wurden als negative Konsequenz zum leichteren Verständnis mit negativen Jahresangaben versehen; für Spieler 2 analog)
  3. Wie viele Lösungen basiert auch die Lösung im Cournot-Duopol auf dem Prinzip der besten Antwort.
  4. Sei  b_i (s_i) \not= \emptyset \quad \forall s_i \in S_{i} und  \forall i . Hier kann man  r_i (s_{-i}) \in b_i (s_{-k}) auswählen. Die Funktion  r_i : S_{-i} \rightarrow S_{i} ist dann eine feste beste Antwort Funktion.


Weitere Differenzierung

Vergleichbar mit der Unterscheidung von strikter und schwacher Dominanz kann man auch die Menge der besten Antworten in zwei Untermengen, die Menge der starken besten Antworten und die der schwachen besten Antworten aufgespalten werden.

Starke beste Antwort

Schwache beste Antwort

Quellen

  • Riechmann, Thomas: Spieltheorie, Vahlen, München, 2., vollst. überarb. Aufl. 2007, ISBN 978-3-800-63505-4
  • Schlee, Walter: Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1. Aufl. 2004, ISBN 3-528-03214-6
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