Beste Antwort

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== Motivation ==
 
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Die Menge der sogenannten besten Antworten hat in der Spieltheorie eine große Bedeutung insbesondere für die Analyse eines Spiels und für die Suche nach und dem Nachweis von [[Nash-Gleichgewicht]]en. Die '''beste Antwort''' wird dabei durch die Überlegung charakterisiert, mit welcher Strategie der eigene Nutzen unter Berücksichtigung der möglichen Strategien anderer Spieler maximiert werden kann.
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Die Menge der sogenannten besten Antworten hat in der Spieltheorie eine große Bedeutung insbesondere für die Analyse eines Spiels sowie für die Suche nach und dem Nachweis von [[Nash-Gleichgewicht]]en. Die '''beste Antwort''' wird dabei durch die Fragestellung charakterisiert, welche Strategie sich am besten eignet, um seinen eigenen Nutzen unter Berücksichtigung der möglichen Strategien anderer Spieler zu maximieren.
  
  
 
== Definitionen ==
 
== Definitionen ==
  
=== Definition ===
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=== Definition: Beste Antwort ===
  
In einem Normalformenspiel heißt eine Strategiekombination <math>\quad \hat s_i \in S_i</math> für Spieler <math>i \in M=\{1,\ldots ,N\}</math> '''beste Antwort''' auf <math>s_{-i} \in S_{-i}</math>, genau dann wenn
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In einem Normalformenspiel heißt eine Strategiekombination <math>\quad \hat s_i \in S_i</math> für Spieler <math>i \in M=\{1,\ldots ,N\}</math>  
<math>\forall s_i \in S_{i}: \quad u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i})</math>. <br>
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'''beste Antwort''' auf <math>s_{-i} \in S_{-i}</math>, genau dann wenn <math>\forall s_i \in S_{i}: \quad u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i})</math>. <br><br>
Anders geschrieben: <math> \hat s_i</math> ist beste Antwort auf <math>s_{-i} \in S_{-i}</math>, genau dann wenn
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Anders geschrieben: <math> \hat s_i</math> ist beste Antwort auf <math>s_{-i} \in S_{-i}</math> genau dann wenn <math> u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\} </math>.
<math> u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\} </math>.
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=== Definition der Abbildung der besten Antwort ===
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=== Definition: Abbildung der besten Antwort ===
  
  
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:Eine mengenwertige Abbildung <math> r_i : S_{-i} \rightarrow \mathfrak {P}(S_i) </math>  mit den Funktionswerten <math> r_i (s_{-i}) </math> := {<math> u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\} </math>} heißt '''Abbildung <math> r_i </math> der besten Antwort''' für den Spieler i.
 
:Eine mengenwertige Abbildung <math> r_i : S_{-i} \rightarrow \mathfrak {P}(S_i) </math>  mit den Funktionswerten <math> r_i (s_{-i}) </math> := {<math> u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\} </math>} heißt '''Abbildung <math> r_i </math> der besten Antwort''' für den Spieler i.
  
  
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:Eine mengenwertige Funktion, deren Funktionswert das kartesische Produkt der Funktionswerte der <math> r_i </math> aus Definition 1, i = 1, ... , m,   
 
:Eine mengenwertige Funktion, deren Funktionswert das kartesische Produkt der Funktionswerte der <math> r_i </math> aus Definition 1, i = 1, ... , m,   
 
:<math> r : S \rightarrow \prod_{i=1}^m \mathfrak {P}(S_i) </math> mit den Funktionswerten <math> r(s) := (r_1(s_{-1}), \ldots, r_m (s_{-m}) </math> heißt '''Abbildung r der besten Antwort'''.
 
:<math> r : S \rightarrow \prod_{i=1}^m \mathfrak {P}(S_i) </math> mit den Funktionswerten <math> r(s) := (r_1(s_{-1}), \ldots, r_m (s_{-m}) </math> heißt '''Abbildung r der besten Antwort'''.
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== Weitere Differenzierung ==
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== Strikt und schwach beste Antwort ==
  
Vergleichbar mit der Unterscheidung von strikter und schwacher Dominanz kann man auch die Menge der besten Antworten in zwei Untermengen, die Menge der starken besten Antworten und die der schwachen besten Antworten aufgespalten werden.
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Vergleichbar mit der Unterscheidung von strikter und schwacher Dominanz kann man auch die Menge der besten Antworten in strikt oder streng besten Antworten und schwach besten Antworten unterschieden werden:
  
==== Starke beste Antwort ====
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:'''Strikt beste Antwort'''
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:Eine Strategie <math> s_i^* </math> heißt schwach beste Antwort auf eine Strategie <math> s_{-i} </math> genau dann wenn gilt: <math> u_i (s_i^*, s_{-i}) > u_i(s_i,s_{-i})  \quad \forall s_i \in S_{i} \setminus s_i^*</math>.
  
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;Definition
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:'''Schwach beste Antwort'''
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:Eine Strategie <math> s_i^* </math> heißt schwach beste Antwort auf eine Strategie <math> s_{-i} </math> genau dann wenn gilt: <math> u_i (s_i^*, s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i})  \quad \forall s_i \in S_{i} </math> und
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:<math> \exists  \hat s_i \in S_i \setminus s_i^* </math> mit <math> u_i (\hat s_i, s_{-i}) = u_i(s_i^*,s_{-i}) </math>.
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Es ist leicht zu sehen, dass es im Gegensatz zu schwach besten Antworten nicht zwei konkurrierende strikt beste Antworten geben kann.
  
==== Schwache beste Antwort ====
 
 
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== Quellen ==
 
== Quellen ==
 
* Riechmann, Thomas: Spieltheorie, Vahlen, München, 2., vollst. überarb. Aufl. 2007, ISBN 978-3-800-63505-4
 
* Riechmann, Thomas: Spieltheorie, Vahlen, München, 2., vollst. überarb. Aufl. 2007, ISBN 978-3-800-63505-4
 
* Schlee, Walter: Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1. Aufl. 2004, ISBN 3-528-03214-6
 
* Schlee, Walter: Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1. Aufl. 2004, ISBN 3-528-03214-6

Version vom 28. November 2008, 22:52 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Motivation

Die Menge der sogenannten besten Antworten hat in der Spieltheorie eine große Bedeutung insbesondere für die Analyse eines Spiels sowie für die Suche nach und dem Nachweis von Nash-Gleichgewichten. Die beste Antwort wird dabei durch die Fragestellung charakterisiert, welche Strategie sich am besten eignet, um seinen eigenen Nutzen unter Berücksichtigung der möglichen Strategien anderer Spieler zu maximieren.


Definitionen

Definition: Beste Antwort

In einem Normalformenspiel heißt eine Strategiekombination \quad \hat s_i \in S_i für Spieler i \in M=\{1,\ldots ,N\} beste Antwort auf s_{-i} \in S_{-i}, genau dann wenn \forall s_i \in S_{i}: \quad u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i}).

Anders geschrieben:  \hat s_i ist beste Antwort auf s_{-i} \in S_{-i} genau dann wenn  u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\} .


Definition: Abbildung der besten Antwort

Definition 1
Eine mengenwertige Abbildung  r_i : S_{-i} \rightarrow \mathfrak {P}(S_i) mit den Funktionswerten ri(si) := { u_i(\hat s_i,s_{-i}) = max\{u_i(s_i,s_{-i}): s_i \in S_i\} } heißt Abbildung ri der besten Antwort für den Spieler i.


Definition 2
Eine mengenwertige Funktion, deren Funktionswert das kartesische Produkt der Funktionswerte der ri aus Definition 1, i = 1, ... , m,
 r : S \rightarrow \prod_{i=1}^m \mathfrak {P}(S_i) mit den Funktionswerten  r(s) := (r_1(s_{-1}), \ldots, r_m (s_{-m}) heißt Abbildung r der besten Antwort.


Existenz und Zusammenhang mit Nash-Gleichgewichten

Satz
Eine Strategiekombination  s'  \in  S  ist genau dann ein Nash-Gleichgewicht, wenn  s' \in  r (s') .
Beweis
Sei  s' \in  r (s') , das heißt, es gelte  \forall i: s'_i \in  r_i (s'_{-i}) . Dann folgt aus der Definition  u_i(s') = max\ u_i(s^*_i,s_{-i}) , also  u_i(s') \ge u_i(s_i,s_{-i}) \forall s_i \in S_{i}, \forall s_i , die Definition des Nash-Gleichgewichts.
Sei s' ein Nash-Gleichgewicht. Dann gilt  u_i(s') \ge u_i(s_i,s_{-i}) \forall s_i \in S_{i}, \forall s_i , also  \forall i: s'_i \in  r_i (s'_{-i}) , woraus nach Definition natürlich  s' \in  r (s') folgt.
Folgerung
Da nach dem Satz von Nash in jedem endlichen Spiel in Normalform ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien existiert, folgert aus diesem Satz, dass auch in jedem endlichen Spiel in Normalform eine beste Antwort existiert.


Beispiele

  1. Im Fall uj = 0 sind alle Strategien beste Antworten, da trivialerweise \forall s_i \in S_{i}: u_i(\hat s_i,s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i}) für alle Strategien erfüllt ist.
  2. Im Gefangenendilemma ist für beide Spieler A (Aussagen) die jeweils beste Antwort sowohl auf S (Schweigen) als auch auf A:
    • u1 (A, S) = 0 > -3 = u1 (S, S)
    • u1 (A, A) = -8 > -10 = u1 (S, A)
    (Die Haftstrafen wurden als negative Konsequenz zum leichteren Verständnis mit negativen Jahresangaben versehen; für Spieler 2 analog)
  3. Wie viele Lösungen basiert auch die Lösung im Cournot-Duopol auf dem Prinzip der besten Antwort.
  4. Sei  b_i (s_i) \not= \emptyset \quad \forall s_i \in S_{i} und  \forall i . Hier kann man  r_i (s_{-i}) \in b_i (s_{-k}) auswählen. Die Funktion  r_i : S_{-i} \rightarrow S_{i} ist dann eine feste beste Antwort Funktion.


Strikt und schwach beste Antwort

Vergleichbar mit der Unterscheidung von strikter und schwacher Dominanz kann man auch die Menge der besten Antworten in strikt oder streng besten Antworten und schwach besten Antworten unterschieden werden:

Definition
Strikt beste Antwort
Eine Strategie  s_i^* heißt schwach beste Antwort auf eine Strategie si genau dann wenn gilt:  u_i (s_i^*, s_{-i}) > u_i(s_i,s_{-i})  \quad \forall s_i \in S_{i} \setminus s_i^*.
Definition
Schwach beste Antwort
Eine Strategie  s_i^* heißt schwach beste Antwort auf eine Strategie si genau dann wenn gilt:  u_i (s_i^*, s_{-i}) \ge u_i(s_i,s_{-i})  \quad \forall s_i \in S_{i} und
 \exists  \hat s_i \in S_i \setminus s_i^* mit  u_i (\hat s_i, s_{-i}) = u_i(s_i^*,s_{-i}) .


Es ist leicht zu sehen, dass es im Gegensatz zu schwach besten Antworten nicht zwei konkurrierende strikt beste Antworten geben kann.


Quellen

  • Riechmann, Thomas: Spieltheorie, Vahlen, München, 2., vollst. überarb. Aufl. 2007, ISBN 978-3-800-63505-4
  • Schlee, Walter: Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1. Aufl. 2004, ISBN 3-528-03214-6
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