Beziehungsspiele

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Inhaltsverzeichnis

Motivation und Zielsetzung

Die Situation, um die sich dieses Projektes dreht, ist wohl jedem Menschen mehr oder weniger bekannt. Ziel ist es, die Phase des Kennen Lernens zweier aneinander interessierter Menschen spieltheoretisch zu beschreiben und zu analysieren. Der Begriff Beziehungsspiel soll dabei nur einen scharf umrissenen Teil dieses Prozesses bezeichnen. Im Kern geht es also um ein Grundthema der menschlichen Existenz, nämlich die Partnersuche und Partnerwahl.

Praktisch jeder erwachsene Mensch hat Situationen erlebt, die dem zu beschreibenden und untersuchenden Beziehungsspiel ähnlich sind. Den drei Autoren ist dabei bei häufigen Beobachtungen von Freunden und Kommilitonen aber auch heroischen Selbstversuchen aufgefallen, dass junge Menschen oder Studenten nie so ausgiebig taktieren und über mögliche Strategien nachdenken und debattieren wie in dieser Situation. Man stelle sich exemplarisch vor, dass sich zwei Personen, Spieler 1 und 2, vorzugsweise eine Frau und ein Mann sich bereits kennen gelernt und Ihre Telefonnummern ausgetauscht haben. Die ersten Telefonate stellen dann folgerichtig die nächsten Hürden dar: Da beide voneinander noch sehr wenig wissen, kommt es bei dieser anfänglichen Kontaktaufnahme logischerweise in bedeutendem Maße auf Details wie den Zeitpunkt des ersten Telefonats, die Art wie darauf reagiert wird und den Gesprächsverlauf an. Als Reaktionsstrategien sind unter anderem "Anruf Annehmen", "Bewusst Anruf nicht Annehmen und später Zurückrufen", "Bewusst Anruf nicht Annehmen und lediglich Beantwortung durch eine SMS", "Anruf nicht annehmen und gar keine Antwort" und viele ähnliche Varianten denkbar und dem fachkundigen Leser möglicherweise aus persönlicher Erfahrung heraus auch bekannt. Falls ein Gespräch zustande kommt, liegen zudem zwischen aktiver Konversation und passivem Abwarten viele mögliche Schattierungen. Es ist daher nahe liegend und hoffentlich auch in irgendeiner Weise erhellend - dieses Beziehungsspiel von der spieltheoretischen Warte aus genauer unter die Lupe zu nehmen.

Der Übersichtlichkeit und dem vorgesehenen Umfang des Projektes halber, sollen die bereits genannten Strategien und Reaktionen verallgemeinert oder zum Teil auch schlicht vernachlässigt werden.Es werden daher nur solche Konstellationen beschrieben und analysiert, in denen beide Spieler wirklich aneinander interessiert sind. Zudem werden die Autoren sich darauf beschränken das erste Telefonat zu betrachten, dessen Ziel es sein soll ein erstes Rendezvous zu verabreden. Der Fokus des Projekts geht also nur auf einen kurzen Ausschnitt im Beziehungsverlauf zweier Menschen. Bezüglich dieses Telefonats soll ein Basisbeziehungsspiel definiert und stufenweise verfeinert werden.

Da es aber andererseits von Grund auf sinnlos und realitätsfern ist, diese Situation unabhängig von den spezifischen Charakterzügen, den Lebensumständen und der jeweiligen Attraktivität der beiden Spieler zu betrachten, sollen diese mit Hilfe von Parametern sinnvoll beschrieben werden. Das Beziehungsspiel nimmt schließlich einen komplett anderen Verlauf, wenn einerseits zwei offene und extrovertierte, andererseits zwei introvertierte und schüchterne Menschen aufeinander treffen. Der betrachtete Ausschnitt im Verlauf dieses Spiels ist also beschränkt, soll aber schrittweise vertieft werden.

Das Projekt ist also der Versuch der möglichst sinnvollen Modellierung und Beschreibung von zwischenmenschlichem Verhalten.


Basisspiel

Wie bereits erwähnt soll zuallererst ein Basisspiel definiert werden.

Definition: Ein Beziehungsspiel in Grundform ist ein extensives, symmetrisches Zweipersonen-Spiel mit zwei nacheinander ablaufenden Teilspielen und folgenden Eigenschaften:

  • 1. Der Erstkontakt zwischen Spieler 1 und 2 wurde bereits erfolgreich hergestellt, d.h. die Kontaktdaten wurden ausgetauscht. Beiden Spielern ist es also möglich, den anderen telefonisch zu kontaktieren. O. B. d. A. beginnt Spieler 1.
  • 2. Spieler 1 und 2 sind aneinander interessiert und haben das Ziel den Anderen besser kennen zu lernen und womöglich eine Beziehung aufzubauen.
  • 3. Beide Spieler besitzen die gleiche Strategiemenge S = S1 = S2 = { Aktiv, Passiv } = {(A), (P)}


Im ersten Teilspiel geht es um das Zustandekommen des ersten Telefonats zwischen Spieler 1 und 2. Wir gehen o. B. d. A. davon aus, dass Spieler 1 beginnt. Spieler 1 wählt zwischen der aktiven Strategie (A) = "Anrufen" und der passiven Strategie (P) = "Nicht Anrufen". Spieler 2 kann darauf mit den kombinierten Strategien {(AA), (AP), (PA), (PP)} antworten, wobei diese sich wie folgt erklären:

  • (AA): "Anruf annehmen falls Spieler 1 anruft und selbst anrufen falls Spieler 1 bis zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht angerufen hat",
  • (AP): "Anruf annehmen falls Spieler 1 anruft aber selbst nicht anrufen falls Spieler 1 bis zu einem bestimmten Zeitpunkt nicht angerufen hat",
  • (PA): "Anruf nicht annehmen falls Spieler 1 anruft sondern anschließend selbst zurückrufen" und
  • (PP): "Anruf nicht annehmen falls Spieler 1 anruft und kein Rückruf".


Auszahlungsmatrizen

Wir definieren folgende Auszahlungsfunktion für das erste Teilspiel:

Spieler 1 \ 2         (AA)                 (AP)                 (PA)                 (PP)        
        A           4,   6   4,   6 –4,   0 –4,   0
        P           5,   3   0,   0   5,   3   0,   0

Falls kein Telefonat zustande kommt, also in den Fällen von {(P), (AP)} und {(P), (PP)}, ist das Spiel bereits beendet.

Das zweite Teilspiel behandelt den Fall, dass die Kontaktaufnahme mittels Telefon gelungen ist. Inhalt ist das Telefonat selbst, dessen Ziel es ist sich zu einem ersten Treffen zu verabreden. Beide Spieler verfügen wieder über eine aktive und eine passive Strategie, wobei diese anders als im ersten Teilspiel interpretiert werden. Der anrufende Spieler, in den Fällen {(A), (AA)}und {(A), (AP)} Spieler 1, in den Fällen {(P), (AA)} und {(P), (PA)} Spieler 2, ist anfangs am Zug. Dieser wählt folglich zwischen der aktiven Strategie (A) = "Rendezvous vorschlagen" und der passiven Strategie (P) = "Nichts vorschlagen". Der angerufene Spieler kann darauf folgendermaßen reagieren:

  • (AA): "Vorschlag vom anrufenden Spieler annehmen und selbst ein Treffen vorschlagen, falls der anrufende Spieler nichts vorschlägt",
  • (AP): "Vorschlag vom anrufenden Spieler annehmen aber selbst kein Treffen vorschlagen, falls der anrufende Spieler nichts vorschlägt",
  • (PA): "Vorschlag vom anrufenden Spieler ablehnen aber selbst ein Treffen vorschlagen, falls der anrufende Spieler nichts vorschlägt",
  • (PP): "Vorschlag vom anrufenden Spieler ablehnen und selbst kein Treffen vorschlagen, falls der anrufende Spieler nichts vorschlägt".

Da beide Spieler der anrufende und somit aktive Part aus dem ersten Teilspiel sein können unterscheiden wir zwei Auszahlungsmatrizen:


Spieler 1 \ 2         (AA)                 (AP)                 (PA)                 (PP)        
        A           8,   12   8,   12 –2,   3 –2,   3
        P           10,   10   0,   2   10,   10   0,   2
Spieler 1 \ 2         A                 P        
        (AA)           11,   7   9,   9
        (AP)           11,   7   1, – 1
        (PA)           2, – 3   9,   9
        (PP)           2, – 3   1, – 1

In Worten gibt dies für die gegebenen Strategien folgende Auszahlungen:

  • Anrufen und es wird abgehoben: 4
  • Anrufen und es wird abgehoben in der 2. Phase: 3
  • Angerufen werden und abnehmen: 6
  • Angerufen werden und abnehmen in der 2. Phase: 5
  • Kein Kontakt (d.h. keiner ruft an): 0
  • Anrufen und nicht abnehmen: -4
  • Anrufen und nicht abnehmen in 2. Phase: -5
  • Angerufen und nicht rangehen: 0
  • Angerufen und nicht rangeben in der 2.Phase: -1
  • Einladen und Annahme: 4
  • Einladen und Absage: -6
  • Eingeladen werden und Annahme: 6
  • Eingeladen werden und Absage: -3
  • beide laden nicht ein: -4

Wir definieren außerdem die termialen Historien Z, die Entscheidungsmengen E1 und E2 der beiden Spieler so wie die Spielerfunktion j


Z = {(AAAA), (AAAP), (AAPA), (AAPP), (AP), (PP), (PAP), (PAAAA), (PAAAP), (PAAPA), (PAAPP)}

E1= {&Oslash, (AA), (PA), (PAAA), (PAAP)}
E2= {(A), (P), (AAA), (AAP), (PAA)}

j(h)=1 ∀h E1
j(h)=2 ∀h E2

Nash-Gleichgewichte

Im zweiten Teilspiel gibt es sechs Auszahlungen, die Nash-Gleichgewichte darstellen. Da es aber (wegen erstem Teilspiel) mehrere Wege gibt, diese zu erreichen, gibt es insgesamt 144 Nash-Gleichgewichte.

Für den Fall, dass Spieler 1 zuerst an der Reihe ist, sind es (A,(AP)), (P,(AA)) und (P,(PA)) mit den Auszahlungen: (8,12), (10,10) und (10,10).

Um das Nash-Gleichgewicht mit der Auszahlung (8,12) zu erreichen, müssen die Spieler folgendermaßen spielen (32 Nash- Gleichgewichte):
s1*=(A,A,λ1, λ2,λ3) s2*=(A,λ4, A,P,λ5)

Um die Nash-Gleichgewichte mit der Auszahlung (10,10) zu erreichen, müssen die Spieler folgendermaßen spielen (64 Nash- Gleichgewichte):
s1*=(A,P,λ6,λ7,λ8) s2*=(A,λ9, λ10,A, λ11)

Für den Fall, dass Spieler 2 zuerst an der Reihe ist, sind es ((AP),A), ((AA),P) und ((PA),P) mit den Auszahlungen: (11,7), (9,9) und (9,9).

Um das Nash-Gleichgewicht mit der Auszahlung (11,7) zu erreichen, müssen die Spieler folgendermaßen spielen (16 Nash- Gleichgewichte):
s1*=(P,λ12, A,A,P) s2*=(λ13, A,λ14,λ15,A)


Um die Nash-Gleichgewichte mit der Auszahlung (9,9) zu erreichen, müssen die Spieler folgendermaßen spielen (32 Nash- Gleichgewichte):
s1*=(P,λ16, A,λ17,A) s2*=(λ18,A, λ19, λ20,P)


Davon sind aber nur 4 teilspielperfekt, und zwar:

s1*=(A,A,A,A,A) s2*=(A,A,A,P,P)
s1*=(A,P,A,A,A) s2*=(A,A,A,A,P)
s1*=(P,A,A,A,P) s2*=(A,A,A,A,A)
s1*=(P,P,A,A,A) s2*=(A,A,A,A,P) (Antworten auf E1 und E2)


Verfeinertes Spiel

Variablen


Wir verfeinern nun unser Beziehungsspiel durch Hinzunehmen einiger Variablen. Dazu führen wir vier verschiedene Variablen ein:

  • Attraktivität des Anderen
  • Eigene Erfahrung
  • Attributionsstil
  • Soziales Umfeld


Attraktivität

Die Attraktivität umfasst sowohl die äußere Anziehung, wie auch den Reiz der Beziehung an sich. Je attraktiver der Partner ist, desto mehr freut man sich über einen Erfolg, bzw. enttäuscht ein Misserfolg. Deshalb vervielfacht sich die Auszahlung durch die Attraktivitäts-Variable a1 (Subjektive Attraktivität des zweiten Spielers) bzw. a2 (Subjektive Attraktivität des ersten Spielers), mit a1,a2 ∈[1, 2].
Diese Variable wird sowohl im ersten wie auch im zweiten Teilspiel berücksichtigt.


Eigene Erfahrung

Die eigene Erfahrung bezieht sich darauf, wieviel Erfahrung der jeweilige Spieler in ähnlichen Situationen schon gesammelt hat. Je erfahrener der Spieler ist, desto weniger enttäuscht ihn ein Misserfolg, bzw. begeistert ihn ein Erfolg. Deshalb vervielfacht sich die Auszahlung durch den Kehrbruch der Erfahrungskomponente e1 bzw. e2, mit e1, e2 ∈[4/5, 2].
Auch diese Variable wird sowohl im ersten wie auch im zweiten Teilspiel berücksichtigt.


Attributionsstil

Der Attributionsstil beschreibt, welchen Ursachen man bestimmte Ereignisse zuschreibt. Ein negativer Attributionsstil ist ein solcher, bei dem man alle positiven Ereignisse äußeren Umständen zuschreibt (z.B. Glück), diese nicht globalisiert ("in diesem Bereich lief es gut, aber das sagt noch nichts über andere Bereiche") und alle negativen Ereignisse auf sich selbst bezieht ("ich bin zu dumm dafür") und diese zusätzlich globalisiert ("in anderen Bereichen wird es mir genauso schlecht ergehen"). Ein Mensch mit positivem Attributionsstil dagegen bezieht positive Ereignisse auf seine eigenen Fähigkeiten, schreibt negative Erfahrungen äußeren Umständen zu und betrachtet sie als variabel ("hätte ich mich mehr bemüht, hätte es bestimmt geklappt"). Hat der Spieler also einen negativen Attributionsstil, so freut er sich nur mäßig über einen Erfolg, ist aber nach einem Misserfolg stark enttäuscht. Hat der Spieler jedoch einen positiven Attributionsstil, so macht ihn ein Erfolg sehr glücklich, nimmt ihn aber ein Misserfolg weniger mit.
Wir unterscheiden hier ce (der Attributionsstil bei Erfolg), der bei Zustandekommen eines Treffens zur Standard-Auszahlung addiert wird, und cm (der Attributionsziel bei Misserfolg), der nach einem missglückten Telefonat zur Auszahlung addiert wird.
Es sind cm1, cm1, ce2, cm2 ∈[-5, 5], wobei ce = cm = 0 einen normalen (bzw. realistischen), -5 einen sehr negativen und +5 einen sehr positiven Attributionsstil beschreibt.


Insgesamt sieht die erste Auszahlungsmatrix des zweiten Teilspiels nun folgendermaßen aus:

Spieler 1 \ 2         (AA)                 (AP)                 (PA)                 (PP)        
        A           8a1/e1 + ce1,

  12a2/e2 + ce2

  8a1/e1 + ce1,

  12a2/e2 + ce2

–2a1/e1 + cm1,

  3a2/e2 + cm2

–2a1/e1 + cm1,

  3a2/e2 + cm2

        P           10a1/e1 + ce1,

  10a2/e2 + ce2

  cm1,

  2a2/e2 + cm2

  10a1/e1 + ce1,

  10a2/e2 + ce2

  cm1,

  2a2/e2 + cm2




Soziales Umfeld

Das jeweilige soziale Umfeld beeinflusst natürlich den Spieler in seiner Entscheidungsfindung, jedoch nicht in den empfundenen Emotionen. Der Spieler kann von seinen Freunden in Hinsicht auf eine Strategie bestärkt oder auch abgeraten werden. Nach Entscheidung für die eine oder andere Strategie erlebt er jedoch unabhängig vom sozialen Umfeld den Ausgang des Spiels immer gleich. Deshalb verändert diese Variable nicht die Auszahlung, sondern schreibt den verschiedenen Strategien lediglich bestimmte Wahrscheinlichkeiten zu.


===Iteration des Basisspiels===

Die Erfahrung zeigt, dass sich die Freude über einen Anruf des Gegenübers über die Zeit hinweg nicht gleich verhält. Dementsprechend nehmen wir eine Iteration des Basisspiels "Anrufen oder nicht Anrufen" vor. Das Spiel wird also zu jedem Zeitpunkt t gespielt. Wir teilen den Tag dabei in drei Zeiteinheiten ein: t1 sei beispielsweise der Vormittag des darauf folgenden Tages, an dem sich beide kennengelernt haben. t2 der frühe Nachmittag und t3 der Abend, t4 wieder der nächste Vormittag usw.
Da die Freude, d.h. die Auszahlungsfunktion, weder linear ansteigen noch abfallen wird (die Freude nimmt nicht linear zu und ebenso nicht ab, je länger der Partner nicht anruft), definieren wir folgende Funktion, die realistische Auszahlungen ergibt:

 \delta (t) = e^{{1 \over 2}({t-6 \over 4})^2} falls 1 \le t \le 12

 \delta (t) = {13 \over 4t} falls 12 < t


Prototypen und ihre Strategien

Wir definieren nun einige Prototypen:

Typ "Beckenbauer" : e = 2 und ce = cm = 5
Typ "Deisler" : e = 4/5 und ce = cm = -5
Typ "Kate Moss" : e = 2 und ce = cm = -5

In Worten:
Typ "Beckenbauer" besitzt sehr viel Erfahrung und einen positiven Attributionsstil, ist also übermäßig selbstsicher und unbeschwert.
Typ "Deisler" ist recht unerfahren und ist aufgrund seines negativen Attributionsstils sehr unsicher und stark depressionsgefährdet.
Typ "Kate Moss" ist sehr erfahren, ist aber wegen ihrem schlechten Attributionsstil auch depressionsgefährdet und leidet an fehlendem Selbstbewusstsein.

Wir überlegen uns nun, was passiert, wenn diese Typen aufeinander treffen (wobei wir die Attraktivitäts-Konstante a=1 wählen, da wir über die gegenseitige Anziehung nichts wissen). Spieler 1 ist o.B.d.A. immer der Mann.

1)
"Beckenbauer" & "Deisler":
(hier "Beckenbauer" = Spieler 1)

Berechnet man beide Auszahlungsmatrizen des zweiten Teilspiels und vergleicht diese miteinander, so fällt auf, dass beide eine größeren Nutzen daraus ziehen können, wenn sie nicht diejenigen, die als erstes anrufen. Haben aber beide die Strategie nicht anzurufen, so wird kein Date daraus entstehen, was wohl auch nicht im Sinne der beiden Spieler ist. Deshalb betrachten wir das bestmögliche bzw. schlechteste Ergebnis der beiden, falls diese anrufen.

Im Fall, dass "Beckenbauer" angerufen hat, beträgt sein schlechtestes Ergebnis im Falle einer Abfuhr 4, sein bestes Ergebnis, falls er nichts vorschlagen muss und "Deisler" dies tut, 10. Ruft er dagegen nicht an, beträgt sein schlechtestes Ergebnis 5,5 und sein bestes 10,5, also kaum besser als im Fall, dass er nicht anruft.

Ruft "Deisler" an, so ist das schlechteste Ergebnis, das er erreichen kann, -8,75, das beste 6,25. Wird "Deisler" hingegen angerufen, beträgt sein schlechtestes Ergebnis -2,5 und sein bestes 10.

In Anbetracht der Tatsache, dass "Deisler" mehr verlieren als gewinnen kann, wenn er anruft, wird er es wohl auf keinen Fall tun. Für "Beckenbauer" dagegen sind die Unterschiede so minimal, dass er nicht lange zögern wird (oder sollte) anzurufen.

2)
"Deisler" & "Kate Moss"

Auch hier haben beide Spieler einen größeren Nutzen, wenn der andere anruft. Wir schauen deshalb genauer drauf:

"Deisler" kann, ruft er an, schlimmstenfalls -7,5 und bestenfalls 7,5 erreichen. Ruft er nicht an, liegen seine Werte zwischen -3,75 und 8,75.

Für "Kate Moss" liegen die Werte, falls sie anruft, zwischen -6,5 und -0,5. Wird sie angerufen kann sie im schlechtesten Fall -4, im besten Fall 1 erreichen.

"Kate Moss" kann also gar keinen Nutzen daraus ziehen selbst anzurufen. Sie wird es deshalb auf keinen Fall tun. Auch "Deisler" hat weniger zu verlieren, wenn er angerufen wird, kann aber immerhin auch einiges gewinnen, wenn er anruft. Da er jedoch nicht weiß, was der andere Spieler für Werte hat, wird er sicherlich auch darauf warten, angerufen zu werden. Dass aus dieser Konstellation ein Date hervorgeht ist deshalb sehr unwahrscheinlich.

3)
"Beckenbauer" & "Kate Moss"

Wir kennen schon die Ergebnisse dieser beiden Spieler: "Beckenbauer" hat wieder sehr positive Werte und absolut nichts zu verlieren, "Kate Moss" kann, wenn überhaupt, nur einen sehr geringen Nutzen ziehen.

Hier sollte also "Beckenbauer" die alleinige Initiative ergreifen und dem Date steht nichts mehr im Wege!
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