Common-Value Auktionen

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Inhaltsverzeichnis

Das Common Value Modell

In der Auktionstheorie unterscheidet man zwischen zwei Klassifizierungen, den private-value und den common-value Auktionen. Unter einem privat-value versteht man, dass jeder Bieter unterschiedliche Präferenzen für den Auktionsgegenstand hat und diese ihm schon während des Bietens bekannt sind. So hat zum Beispiel ein Kunstgemälde für jeden Bieter einen unterschiedlichen privaten Wert. Besitzt das zu versteigernde Objekt jedoch einen objektiven Marktwert und ist dieser zur Zeit der Auktion den Teilnehmern unbekannt, so spricht man von einem common-value. Die Bieter verfügen in diesem Fall lediglich über eine Schätzung des Objektwertes, welches mit Unsicherheit behaftet ist. Beispielhaft für common-value Auktionen sind Versteigerungen von Explorationsrechten in Küstengewässern. Jeder Bieter hat in diesem Fall eine Schätzung vorhandene Menge Öl, jedoch ergibt sich erst durch den späteren Verkauf des Öls der wahre Wert.

Ein Phänomen, welches häufig im Zusammenhang mit common-value Auktionen auftritt, ist das des Winner´s Curse. Darunter versteht man, dass das ersteigerte Objekt weniger wert ist als der gezahlte Höchstpreis und somit von dem Gewinner der Auktion deutlich überschätzt wurde.


Beispiel:Das „Wallet game“

Um die Idee einer common-value Auktion zu verdeutlichen, wird das folgende Beispiel dargestellt, das in der Auktionstheorie unter dem Begriff „wallet game“ bekannt ist und von Klemperer (1998) eingeführt wurde.

Es sei angenommen, zwei Spieler i = 1,2 bieten in einer englischen Auktion auf den Inhalt ihrer beiden Portemonnaies. Jeder Spieler kennt den Wert des eigenen Portemonnaies xi, jedoch ist der Wert des Gegenspielers unbekannt. Versteigert wird das Paket aus den beiden Portemonnaies der beiden Bieter. Aus Sicht von Spieler 1 ist der Wert des Objektes v = x1 + x2, wobei x1 bekannt und x2 eine Schätzung ist. Geboten wird somit auf einen common-value v. Dieser ist zur Zeit der Auktion den Spielern unbekannt, besitzt jedoch im Anschluss an die Versteigerung einen objektiven Wert. In einem symmetrischen Gleichgewicht wird diese Auktion durch die Strategie b * (xi) = 2xi beschrieben und bildet ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht. Um dies zu zeigen, nimmt man an, dass die beiden Signale xi, x2 gleichverteilt auf dem Intervall  \left[ 0,1 \right] sind. Falls Bieter 1 die Auktion gewinnt und Bieter 2 ebenfalls die Gleichgewichtsstrategie spielt, ergibt sich die Auszahlungsfunktion x1 + x2b2 bzw. x1 + x2 − 2x2. Falls Bieter 1 ein Gebot in Höhe von b abgibt, erhält er die folgende Auszahlung (unter der Bedingung, dass Bieter 2 die optimale Strategie spielt:


 x_1, x_2 \in\left[ 0,1 \right]


B_i \in \left[ 0,\infty \right]

 E\left[ x_1 + x_2 - 2x_1 | b > 2x_2 \right] = E\left[ x_1 - x_2 | x_2 <  {b \over 2} \right] =    {b \over 2}x_1 - \int_{0}^{{b \over 2}} F(z)\, dz = {b \over 2}x_1 - \int_{0}^{{b \over 2}} z\, dz   =  {b \over 2}x_1 - \left[ {1 \over 2}z^2 \right]^{{b \over 2}}_0  = {b \over 2}x_1 -  {b^2 \over 8}


Die Maximierung der Gleichung nach b führt zum maximalen Gebot

 {dE \over db} = {1 \over 2}x_1 - {b \over 4} = 0 \Leftrightarrow b^* = 2x_1

Also ist b * (x1) = 2x1 die Beste Antwort auf b * (x2) = 2x2

Voneinander abhängige Wertschätzungen

Wie in dem oben beschriebenen „wallet game“ können die Spieler während der Auktion nur Schätzungen über den Wert des Inhaltes des Portemonnaies abgeben. Sobald einer der Spieler die Auktion gewinnt, ergibt sich der wahre Wert v = x1 + x2 , der für beide absolut identisch ist. Man spricht in diesem Zusammenhang von einem „pure common-value“. In der Realität finden sich meistenst Auktionen, die sowohl eine private-value als auch eine common-value-Komponente enthalten.

Bei dem allgemeinen Modell der common-value Auktionen geht man davon aus, dass alle N Bieter eine Teilinformation über den Wert des Auktionsobjektes besitzen, welches man auch als eine Art Signal interpretieren kann. Es kann das i-te Signal als Zufallsvariable  X_i \in \left[ 0,w_i \right] mit der Realisation xi beschrieben werden und man nimmt an, dass der Wert des Objektes mit den Signalen der Bieter positiv korreliert. Die Wertschätzung des Bieters i kann man schreiben als Vi = vi(X1,X2,.....,Xn).


Die Funktion des Bieters i ist steigend in xi und abhängig von allen Signalen der anderen N-1 Bieter. In einem weiteren Schritt wird nun versucht, die fehlende Unsicherheit in der Gleichung mit Hilfe des Erwartungswertes zu modellieren. V1,V2,....,Vn stehen für die N unbekannten Wertschätzungen aller Bieter. X1,X2,.....,Xn bezeichnen die dazugehörigen Signale. Mit

 v_i(x_1,x_2,.....,x_n) = E\left[ V_i|X_1=x_1,X_2=x_2,....,X_n=x_n \right]

als Erwartungswert des Wertes für den Bieter i unter der bedingung, dass alle anderen Signale der anderen Bieter für i verfügbar sind.

Ist der Wert des zu versteigernden Objektes nach der Auktion für alle gleich, so handelt es sich, wie im „wallet game“, also um eine pure-common-value Auktion und man kann schreiben, dass folgende Beziehung gilt:

 v(x_1,x_2,.....,x_n) = E\left[ V_i|X_1=x_1,X_2=x_2,....,X_n=x_n \right]

Bei der Analyse von empirischen Ereignissen geht man häufig bei common-value Auktionen davon aus, dass die Signale xi unabhängig verteilt sind und ein unverzerrter Schätzer von V ist und somit:  E\left[ X_i|V=v \right] = v .

First-Price-Common-Value-Modell

Man nimmt an, dass ein Objekt mit einem common-value V in einer geheimen first-price Auktion versteigert wird. Dieser Wert V ist gleichverteilt im Intervall  \left[ \underline v, \bar v \right] und wird zufällig gezogen. In einer geheimen first-price Auktion erhält derjenige Bieter mit dem höchsten Gebot den Zuschlag und bezahlt einen Preis, der gleich seinem Gebot ist. Weiterhin geht man davon aus, dass jeder Bieter vor der Auktion ein privates Signal xi erhält, welches ebenso zufällig gezogen wird und gleichverteilt im Interval  \left[ V - \epsilon, V + \epsilon \right] ist. Die Variable ε drückt die Unsicherheit bezüglich des wahren Wertes V aus und kann als Varianz interpretiert werden. Je größer ε, desto höher ist die Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Wie oben bereits erwähnt wurde, ist das Signal xi ein unverzerrter Schätzer für den common-value V.

Man stelle sich die Situation einer Versteigerung eines Ölfeldes vor, welches nach der Auktion für alle den gleichen Wert besitzt. Jeder der beteiligten Bieter besitzt im Vorfeld private Informationen über den Wert, zum Beispiel in der Form eines Gutachtens. Diese Informationen treffen im Erwartungswert den Wert V zwar gut, jedoch kann jede Schätzung nach oben oder abweichen.

Unter der Annahme, dass alle Signale im Intervall  \underline v + \epsilon \le x_i \le \bar v - \epsilon liegen, kann man die optimale Gebotsfunktion des symmetrischen Gleichgewichts wie folgt aufstellen:

bcv(xi) = xi − ε + φ(xi) mit  \phi(x_i) = {2\epsilon \over N + 1}exp \left[ -({N \over 2\epsilon})(x_i - (\underline v + \epsilon)) \right]


Da im Nash-Gleichgewicht alle N Bieter die gleiche Gebotsfunktion verwenden, und somit der einzige Unterschied zwischen den Funktionen die private Information xi ist, gewinnt immer derjenige Bieter mit dem höchsten Signal. Abbildung 1 stellt z.B. die optimale Gebotsfunktion in Abhängigkeit der Anzahl der Bieter N und der Unsicherheit ε mit einem eigenen Signal von 50, einem Unsicherheitsfaktor von 10 und der Verteilung des common-value im Intervall [10,100] dar. Die rechte Grafik geht von einer konstanten Zahl an Bietern in Höhe von 5 aus. Betrachtet man zuerst die optimale Gebotsfunktion in Abhängigkeit der Anzahl der Bieter, so erkennt man, dass mit steigendem N die Funktion φ(xi) gegen Null strebt und die Gebotsfunktion insgesamt gegen den Wert xi − ε konvergiert, der hier 40 ist. Anders verhält sich die optimale Gebotsfunktion bei steigender Unsicherheit ε bezüglich des commonvalue v. Für ε = 0 ist es optimal, ein Gebot in Höhe des eigenen Signals xi = 50 abzugeben, jedoch sinkt auch hier die Gebotsfunktion für steigende Unsicherheit.


Abbildung 1

Optimale Gebote in Abhängigkeit der Anzahl der Bieter und der Unsicherheit

Private Value versus Common Value

Bei einer private-value Auktion besitzt jeder Bieter ein privates Signal xi über den Wert des Objektes, das zufällig aus dem Intervall  \left[ \underline v, \bar v \right] gezogen wird. Da bei diesem Auktionstyp keinerlei Unsicherheit über den Wert besteht, ist ε = 0 ; für eine first-price Auktion gilt daher folgende optimale Gebotsfunktion :

 b^{pv} = \underline v + ({ N - 1 \over N})(x_i - \underline v)


Abbildung 2 stellt einen Vergleich der optimalen Gebote im Fall eines common-value und eines private-value dar (es handelt sich hierbei um die gleichen Werteannahmen wie in Abbildung 1). Die linke Grafik zeigt nochmals den Verlauf der Gebotsfunktion in Abhängigkeit der Anzahl der Bieter. Vergleicht man die optimalen Gebote der common-value Auktion mit denen einer private-value, so fällt auf, dass bpv umso größer wird, je mehr Bieter an der Versteigerung teilnehmen. Die Funktion der optimalen Gebote konvergiert allerdings, wie Abbildung 2 zeigt, für steigende N-Werte gegen das eigene Signal xi = 50. Die optimale Gebotsfunktion unter der Annahme eines common-value hingegen konvergiert gegen xi − ε = 40.


Abbildung 2

Optimale Gebote in Abhängigkeit der Anzahl der Bieter

Quelle

Wolfstetter, E. (1999)

Krishna, V. (2004)

Klemperer, P. (1998)

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