Diskussion:Lektion 1:Die pay off Funktion

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Welche Zahlen Äpfeln und Orangen zugewiesen wird ist nicht immer egal. Was nimt der Spieler, wenn er die Wahl hat zwischen 10 Äpfeln und 5 Orangen? Was nimt der Spieler, wenn er die Wahl hat zwischen einer 50% Wahrscheinlichkeit eine Orange zu bekommen und der 10% Wahrscheinlichkeit einen Apfel zu bekommen? In beiden Fällen ist nicht nur die Ordnung der Präferenzen wichtig, sondern auch das Verhältnis zwischen ihnen. (Schmaus)


Antwort

Zugegeben, das Beispiel war nicht ganz geeignet. Gemeint war eher das Problem dass manche Aspekte nicht wirklich in Zahlen gemessen bzw. verglichen werden können. Z.B. wenn ein Individuum sich zw. einem Kinobesuch und einem Theaterstück entscheiden muss wenn alle anderen Faktoren wie Eintrittspreis etc. gleich bzw. nicht von Bedeutung sind (für diese konkrete Person). Danke für den Hinweis, entsprechende Änderungen werden vorgenommen. (Marina)


Der letzte Absatz ist falsch! Die lexikographische Ordnung z.B. stellt eine Präferenzordnung dar, kann aber nicht durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden. Ich füge hier den Beweis als Latex-code aus meiner Diplomarbeit ein. Es sind evtl. noch kleine Fehler drin, der Beweis an sich stimmt aber!

\chapter{Pr"aferenzrelationen und Nutzenfunktionen}


Sei auf $A \not= \emptyset$ eine Pr"aferenzrelation $\preceq$ definiert und eine Funktion $u: A \to \SR$ gegeben. Die Pr"aferenzrelation wird durch die Funktion $u$ repr"asentiert, falls gilt.

\begin{eqnarray} x \preceq y \Leftrightarrow u(x)\le u(y) \end{eqnarray}

In diesem Fall hei"st $u$ Nutzenfunktion zu R.(Rauhut) \\

Aber nicht jede Pr"aferenzrelation kann durch eine Nutzenfunktion repr"asentiert werden!

\section{Beispiel: Lexikographische Ordnung}

Sei auf $A:=\SR^2$ eine zweistellige Relation "'$\preceq$"' definiert durch \begin{displaymath} (x_1,x_2) \preceq (y_1,y_2) \Leftrightarrow x_1\le y_1 \vee (x_1=x_2 \wedge x_2\le y_2) \end{displaymath} \newline wobei \begin{displaymath}(x_1,x_2) \preceq (y_1,y_2) \wedge (y_1,y_2) \preceq (x_1,x_2) \Leftrightarrow (x_1,x_2)=(y_1,y_2) \end{displaymath}

Diese Relation erf"ullt offensichtlich die Bedingungen, die an eine Pr"aferenzrelation gestellt werden, kann aber durch keine Nutzenfunktion repr"asentiert werden. \\

{\em Beweis}:\\

Sei $u$ eine Nutzenfunktion zu $\preceq$; dann gilt f"ur jedes $x\in \SR$

\begin{displaymath} \underline{v}(x):=\inf_{y} \{u(x,y), y\in \SR\}<\sup_{y}\{u(x,y); y \in \SR\}=:\overline{v}(x) \end{displaymath}

Andererseits gilt f"ur $x_1 < x_2$ \begin{displaymath} \overline{v}(x_1)<\underline{v}(x_2) \textrm{ ,} \end{displaymath}

da z.B. $(x_1,y_1) \preceq (\frac{x_1+x_2}{2},0) \preceq (x_2,y_2) \qquad \forall y_1, y_2 \in \SR$ und somit

\begin{displaymath} \overline{v}(x_1) < u(\frac{x_1+x_2}{2},0) < \underline{v}(x_2) \textrm{ .} \end{displaymath}

Dies liefert aber einen Widerspruch, denn die Menge $\{ (\underline{v}(x);\overline{v}(x));x \in \SR \}$ bildet eine "uberabz"ahlbare Familie von offenen, nichtleeren, disjunkten Intervallen, was nicht wegen der Abz"ahlbarkeit von $\SQ$ nicht m"oglich ist. q.e.d.

S. Gamperl

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