ESS im symmetrischen Spiel mit je zwei Strategien

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Der folgende Satz trifft Aussagen über Existenz und Eindeutigkeit von einer evolutionär stabilen Strategie (ESS) im symmetrischen Spiel mit zwei Spielern, wobei jeder Spieler genau zwei reine Strategien hat. D.h: S1 = S2: = S = {s1,s2}

Sei nun  A = \begin{pmatrix} a_{11}  a_{12} \\ a_{21}  a_{22} \end{pmatrix} die Auszahlungsmatrix von Spieler 1. Wegen der Symmetrie ist die Auszahlungsmatrix von Spieler 2 dann durch AT gegeben.

Inhaltsverzeichnis

Satz

Wenn  a_{11} \neq a_{21} und  a_{22} \neq a_{12} , dann hat das evolutorische Spiel immer eine evolutionär stabile Strategie, und zwar:

  1. Sei a11 > a21. Dann ist  p = e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} eine ESS.
  2. Sei a22 > a12. Dann ist  p = e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} eine ESS.
  3. Seien a11 < a21 und a22 < a12. Dann ist  p = \begin{pmatrix} \lambda \\ 1 - \lambda \end{pmatrix} eine ESS, mit  \lambda = \frac{a_{22} - a_{12}}{a_{11} - a_{21} + a_{22} - a_{12}} , und die so gefundene evolutionär stabile Strategie ist die einzige des Spiels.

Beweis

  1.  u_1(s_1, s_1) = e_1^T A e_1 = a_{11} > q_1 a_{11} + q_2 a_{21} = q^T A e_1 = u_1(q, s_1) , falls  q \neq s_1 , also  q_2 \neq 0 , da a11 > a21 nach Voraussetzung. Somit ist s1 aus Sicht von Spieler 1 also beste Antwort auf s1. Aus Symmetriegründen gilt dies aber auch für Spieler 2. Also ist s1 ESS.
  2.  u_1(s_2, s_2) = e_2^T A e_2 = a_{22} > q_1 a_{12} + q_2 a_{22} = q^T A e_2 = u_1(q, s_2) , falls  q \neq s_2 , also  q_1 \neq 0 , da a22 > a12 nach Voraussetzung. Somit ist s2 aus Sicht von Spieler 1 also beste Antwort auf s2. Aus Symmetriegründen gilt dies aber auch für Spieler 2. Also ist s2 ESS.
  3. Sei δ: = a11a21 + a22a12. Dann gilt: δ < 0 nach Voraussetzung. Außerdem gilt:

 Ap = \begin{pmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda \\ 1-\lambda \end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} a_{11}\lambda + (1-\lambda) a_{12} \\ a_{21}\lambda + (1-\lambda)a_{22} \end{pmatrix}

Nun gilt:  a_{11}\lambda + (1-\lambda) a_{12} = \frac{a_{11}(a_{22}-a_{12})+(a_{11}-a_{21})a_12}{a_{11}-a_{21}+a_{22}-a_{12}}= \frac{det A}{\delta}

und:  a_{21}\lambda + (1-\lambda) a_{22} = \frac{a_{21}(a_{22}-a_{12})+(a_{11}-a_{21})a_22}{a_{11}-a_{21}+a_{22}-a_{12}}= \frac{det A}{\delta}

Daher gilt:  p^T A p = \frac{det A}{\delta} (p^T \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \frac{det A}{\delta}

und:  m^T A p = \frac{det A}{\delta} (m^T \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \frac{det A}{\delta} für jede beliebige gemischte Strategie  m \in \Delta . Damit p also eine ESS ist, muss die Bedingung 2 gezeigt werden, d.h.  \forall m\in\Delta: p^T A m > m^T A m .

Wegen pTAp = mTAp, also (pm)TAp = 0, gilt:

 p^T A m > m^T A m \Leftrightarrow (p-m)^T A m >0 \Leftrightarrow (p-m)^T A (p-m)<0

Für die Strategie  m = \begin{pmatrix} \mu \\ 1-\mu \end{pmatrix} ergibt sich also mit  p-m = \begin{pmatrix} \lambda-\mu \\ \mu-\lambda \end{pmatrix} :

 (p-m)^T A (p-m) = (\lambda-\mu, \mu-\lambda) A \begin{pmatrix} \lambda-\mu \\ \mu-\lambda \end{pmatrix} = (\lambda-\mu, \mu-\lambda) 
\begin{pmatrix} a_{11}(\lambda - \mu) + a_{12}(\mu-\lambda) \\ a_{21}(\lambda-\mu)+a_{22}(\mu-\lambda) \end{pmatrix} = (\lambda-\mu)^2 a_{11}-(\lambda-\mu)^2 a_{12} - (\lambda-\mu)^2 a_{21} + (\lambda-\mu)^2 a_{22} =

= (λ − μ)2(a11a12 + a22a21) = (λ − μ)2δ < 0, da δ < 0 nach Voraussetzung.

Bemerkung

Im Falle 3° handelt es sich um die in Nash-Gleichgewicht:Berechnung bei symmetrischen Spielen beschriebene Situation. Man erhält die ESS, indem die beiden Komponenten von Ap gleichgesetzt werden.

Links

Evolutorische Spiele
Symmetrisches Spiel
Evolutionär stabile Strategie
Nash-Gleichgewicht:Berechnung bei symmetrischen Spielen

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