ElFarolBar-Problem

Einleitung

Das ElFarolBar-Problem ist ein Spezialfall eines Minderheiten-Spiels. Es wurde 1984 von Brian Arthur aufgestellt. Hierbei stand eine Bar in Santa Fe (New Mexico) Taufpate.

Das Problem lautet wie folgt: Die - immer gleich große - Bevölkerung eines bestimmten Ortes will jeden Donnerstagabend in die El Farol Bar. Allerdings ist das El Farol ziemlich klein und es macht keinen Spaß den Abend dort zu verbringen, wenn es überfüllt ist. In Zahlen gefasst, führt dies zu folgendem Zustand:

• Wenn weniger als 60% der Bevölkerung ins El Farol gehen, verbringen diese in der Bar einen angenehmeren Abend als zu Hause.
• Wenn jedoch mehr als 60% der Bevölkerung ins El Farol gehen, wäre es für sie angenehmer gewesen, zu Hause geblieben zu sein.

Leider müssen sich alle Einwohner gleichzeitig entscheiden, ob sie ins El Farol gehen wollen oder nicht. Sie können nicht die Entscheidung der anderen abwarten und ihre eigene davon abhängig machen. Die einzige vorhandene Information ist die Anzahl der Dorfbewohner, die in der vorangegangenen Woche in der Bar waren. Jeder Einwohner wird sich entscheiden, die Bar zu besuchen, wenn er erwartet, dass sich dort weniger als 60 Personen aufhalten und sonst zuhause bleiben.

Die Bedeutung des Problems liegt darin, dass egal, welche (deterministische) Methode eine Person anwendet, um zu entscheiden, ob man ins El Farol geht oder nicht, diese Methode scheitern wird, wenn jeder sie verwendet. Wenn jeder die gleiche Methode verwendet, wird das El Farol leer sein, wenn die Methode das Ergebnis liefert, dass das El Farol überfüllt ist und umgekehrt.

Dadurch wird die Aufgabe sehr komplex und kann nur durch die Modellierung eines Sozialsystems gelöst werden, das die Bevölkerung von Santa Fe simuliert. Jeder Bewohner muss mit einer Methode versehen werden, die die Anzahl der in der kommenden Woche im El Farol anwesenden Personen schätzt und entscheidet, ob die jeweilige Person selbst dort hingehen wird oder nicht. Allerdings ist ein wichtiger Aspekt, dass keine Einschätzung existiert, die gleichzeitig korrekt ist und über die alle Spieler verfügen können. Die Begründung für diese Voraussetzung ist folgnde. Wenn die Einschätzung ergibt, dass mehr als 60 Personen anwesend sein werden, wird niemand die Bar besuchen. Ergibt die Einschätzung jedoch, dass weniger als 60 Personen dort sein werden, wird jeder die Bar besuchen. Aus diesem Grund darf jeder Spieler Hypothesen treffen, welche die vergangenden q Wochen in die Einschätzung einbeziehen. Beispiele für diese Hypothesen sind:

• Die Anwesenheit nächste Woche wird ebenso hoch sein, wie vergangene Woche

• Die Anwesenheit nächste Woche entspricht dem Durchschnitt der letzten vier Wochen

• Die Anwesenheit nächste Woche ist genauso hoch wie die Anwesenheit vor zwei Wochen

etc.

Jeder Spieler verwendet jede Woche diejenige Hypothese, die zu dieser Zeit das genauste Ergebnis liefert und basiert darauf die Entscheidung, zur Bar zu gehen oder nicht.

Modellierung

Grundbegriffe

Beschränkt rationales Verhalten

In einer komplexen Situation ist es für den Spieler nicht möglich, alle Informationen zu analysieren und somit einzuschätzen, wie sich die anderen Spieler verhalten. Deswegen muss mit einer eingeschränkten Informationsmenge gearbeitet werden. Handlungsalternativen werden durch eine Kombination aus rationalen Regeln und empirischen Daten abgeleitet. Diese dienen dazu, den Nutzen zu maximieren.

Spieler

Hierbei handelt es sich um die N Personen, die unabhängig voneinander entscheiden, ob sie die Bar besuchen oder nicht. Sie werden durch beschränkt rationales Verhalten charakterisiert und entscheiden induktiv. Ihr Verhalten wird durch Regeln bestimmt. Zu jedem Zeitpunkt t verfügt jeder Spieler über eine Erinnerung bezüglich der vergangenen Wochen und einem Ziel, das er zu erreichen strebt.

Hypothese

Hierbei handelt es sich um eine Funktion, die Informationen bezüglich der Anwesenheit der vergangenen q Wochen in einen Wert umwandelt, der die Anwesenheit der kommenden Woche einschätzt.

Formal: H ist eine Hypothese wenn

Strategieraum

Eine Strategie ist eine Funktion aus der Mege der q möglichen vergangenen Besuchermengen mit den Handlungen "Besuch der Bar" und "zuhause bleiben" als Ergebnisse.

Formal: a ist eine Strategie wenn: "Besuch der Bar", "zuhause bleiben".

Eine Strategie kann als Ergebnis einer Hypothese betrachtet werden wobei man beachten muss, dass eine Strategie

a(I_t) mit I_t = A(t − 1),...,A(t − q) (Anwesenheit in den vergangenen q Wochen)

mehreren unterschiedlichen Hypothesen zugrunde liegen kann. Der Strategieraum beinhaltet alle möglichen Kombinationen von Hypothesen, die verwendet werden können, um die Handlung des Spielers zu bestimmen.

Konsistenz

Das bedeutet, dass die Hypothese konsistent mit den vergangenen Beobachtungen sein muss. Sei die Anwesenheit vor k Wochen A(t-k) und sei nahe einem Wert L, dann gilt

Stetigkeit

Stetigkeit der Hypothese H bedeutet, dass eine geringe Änderung in I_t auch nur eine geringe Abweichung von H(I_t) zur Folge hat oder zumindest, dass die selbe Handlung resultiert.

Annahmen

Unabhängigkeit

Die Spieler kommunizieren und kooperieren nicht. Sie verfügen alle über die selbe Menge an Informationen, nämlich der Besucherzahl der vergangenen Wochen.

Eingeschränkt rationales Verhalten

Alle Spieler handeln eingeschränkt rational und benutzen induktive Regeln und Hypothesen, um zu einer Entscheidung zu gelangen. Sie ändern ihre Hypothesen nicht.

Implementierung

Ansatz

Gegeben des Wissens der Besucherzahl der letzten q Wochen I_t schätzt der Spieler die Besucherzahl der kommenden Woche A_t. Wenn das Ergebnis kleiner als 60 ist, wird der Spieler die Bar besuchen, sonst bleibt er zuhause. Sei N die Anzahl der Spieler (Bewohner von El Farol) und die Hypothese eine Funktion

. Dann ergeben sich

(N+1)^{(N + 1)q} solcher Funktionen. Da diese Zahl im Allgemeinen zu groß sein wird, um sinnvolle Berechnungen anstellen zu können, müssen wir eine Untermenge wählen, die als Hypothese für die Spieler fungiert. Diese Problem ist beispielsweise zu lösen, indem man die Besucherzahl der vergangenen Wochen binär codiert, also

, also "Besuch der Bar"

, also "zuhause bleiben"

Dadurch ergibt sich eine Funktion , womit der Strategieraum nur noch 2^2q Elemente umfasst.

Quelle

• Arthur, W.B.: Inductive reasoning and bounded rationality, American Economics Association Review, 1994