Evolutionär stabile Strategie

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Inhaltsverzeichnis

Voraussetzungen

Wir betrachten ein symmetrisches Spiel mit n Strategien und einer Auszahlungsmatrix A.

 \Delta := \{ \tau \in \mathbb{R}^n | \tau_j \geq 0 \, , \sum_{j=1}^{n} \tau_j = 1 \}  ist die Menge der gemischten Strategien.

Definition

 \sigma \in \Delta ist eine evolutionär stabile Strategie  :\Leftrightarrow \forall \mu \in \Delta gilt

a)  \sigma^T A \sigma \geq \mu^T A \sigma

und

b)  \sigma^T A \sigma = \mu^T A \sigma \Rightarrow \sigma^T A \mu > \mu^T A \mu

dazu äquivalent:

a)  u_{1}(\sigma,\sigma) \geq u_{1}(\mu,\sigma)

und

b)  u_{1}(\sigma,\sigma) = u_{1}(\mu,\sigma) \Rightarrow u_{1}(\sigma, \mu) > u_{1}(\mu,\mu)


wobei u_{1}: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} die Auszahlungsfunktion von Spieler 1 ist. Beachte: u1(p,q) = u2(q,p) für alle p, q \in \Delta (symmetrisches Spiel)

Bemerkung

(a) besagt, dass σ beste Antwort auf sich selbst ist (für Spieler 1). Wegen u_{2}(\sigma,\sigma) = u_{1}(\sigma,\sigma) \geq u_{1}(\mu,\sigma) = u_{2}(\sigma,\mu) für alle \mu \in \Delta folgt sofort: für jede evolutionär stabile Strategie σ ist (σ,σ) ein symmetrisches Nash-Gleichgewicht. Die symmetrischen Nash-Gleichgewichte lassen sich im Falle von 2 Strategien leicht berechnen.

(b) besagt, dass falls es eine weitere beste Antwort auf σ gibt (σ als beste Antwort auf σ also nicht eindeutig ist), so muss σ gegen den Mutanten μ besser abschneiden, als der Mutant μ gegen sich selbst.

Das Konzept der evolutionär stabilen Strategie (ESS) liefert also eine Verfeinerung des Nash-GG-Begriffs.

Man kann sich folgendes Szenario vorstellen: ein Mutant mit der Strategie μ kommt in eine Population, in der alle die gleiche Strategie σ spielen. Wird er es schaffen sich durchzusetzen? Falls nicht - so ist die vorhandene Strategie evolutionär stabil.

Fall a) bedeutet, dass ein einzelner Mutant schlechtere Ergebnisse mit der verbreiteten Strategie erzielt und sich deswegen nicht durchsetzen kann. Wenn diese Ergenisse des Mutanten gleich gut sind, dann müssen die Mutanten unter sich schlechter spielen (Fall b) damit die Strategie evolutionär stabil ist.

Beispiele

Nicht jedes Nash-Gleichgewicht ist "evolutionär stabil":

a b
a (2,2) (1,2)
b (2,1) (2,2)

Nash-Gleichgewichte: (a,a) und (b,b) (klar!)

  • b ist ESS, denn 2 = u(b,b) > u(a,b) = 1
  • a ist keine ESS, denn zwar ist 2 = u(a,a) = u(b,a) = 2 aber 1 = u(a,b) < u(b,b) = 2


Es kann auch mehr als eine ESS geben:

a b
a (2,2) (0,0)
b (0,0) (2,2)

a und b sind ESS, da (a,a) und (b,b) strikte Nash-Gleichgewichte sind (d.h. Punkt b) in der Definition braucht nicht geprüft zu werden).

Das Gleichgewicht in gemischten Strategien (0.5,0.5) ist übrigens keine ESS:

Zwar ist 1 = 0.5*0.5*2 + 0.5*0.5*2 = u(0.5,0.5) >= u(q,0.5) für alle q (klar: Nash-Gleichgewicht) aber aus 1 = u(0.5,0.5) = u(a,0.5) = 1 folgt nicht u(0.5,a) > u(a,a), denn u(0.5,a) = 1 und u(a,a) = 2!


Als Beispiel kann das iterierte Gefangenendilemma betrachet werden.

IMMER D (immer Defektieren) ist eine evolutionär stabile Strategie, da keine andere Strategie gegen IMMER D bessere Ergebnisse erzielen kann.

TIT FOR TAT ist nicht evolutionär stabil, da IMMER D gegen TIT FOR TAT besser abschneidet.

Erweiterungen des Begriffs

Mann kann den Fall betrachten wenn ein Mutant nicht isoliert eindringt, sondern gleich eine ganze Gruppe von (gleichen) Mutanten invasiert. In diesem Fall ist zum Beispiel TIT FOR TAT bei genügend großem Diskontfaktor evolutionär stabil.

evolutionär stabile Strategie = evolutionary stable strategy

Siehe auch

Evolutionär stabile Strategie:Symmetrisches Spiel mit 3 Strategien

ESS im symmetrischen Spiel mit je zwei Strategien

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