Evolutionär stabile Strategie:Symmetrisches Spiel mit 3 Strategien

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Inhaltsverzeichnis

Spielaufbau

Man betrachte eine Population von Spielern, bei denen das Aufeinandertreffen zweier Individuen deren gemeinsames Arbeiten an einem Projekt darstellt. Zwei Individuen vom Typ X arbeiten gut zusammen, und sowohl Typ Y als auch Typ Z kann gut mit Typ X zusammenarbeiten, auch wenn X bei einer solchen Zusammenarbeit etwas schlechter abschneidet. Paarungen von zwei Typ- Y -Individuen oder zwei Typ-Z-Individuen sind kontraproduktiv, während Y - Individuen und Z-Individuen gut miteinander harmonieren. Wir modellieren diese Situation durch das symmetrische Spiel G = {{1,2},(Si),(ui)} mit S1 = S2 = {X,Y,Z} und den folgenden Auszahlungen:

X Y Z
X (2,2) (1,2) (1,2)
Y (2,1) (0,0) (3,3)
Z (2,1) (3,3) (0,0)

Im Folgenden sei u: = u1, da es aufgrund er Symmetrie des Spiels genügt, nur den Nutzen von Spieler 1 zu betrachten. \tilde{u} := \mathbb{E}[u] ist die Nutzenfunktion im Fall von gemischten Strategien.

Aufgabe

(a) Bestimme alle evolutionär stabile Strategien (ESS) in G in quasi-reinen Strategien, d.h. mit Wahrscheinlichkeitsmasse 1 auf einer Strategie s \in \{X,Y,Z\}.

(b) Sind Nash-Gleichgewichte, die nach a) evolutionär stabil sind, auch für echt gemischte Strategien evolutionär stabil (also gegen gemischte Mutanten)?

Lösung

(a)

Wegen Bedingung a) in der Definition von evolutionär stabile Strategie beschränkt sich die Kandidatenmenge für ESS in reinen Strategien auf die symmetrischen Nash-Gleichgewichte. Im vorliegenden Spiel ist (X,X) ein solches symmetrisches Nash-Gleichgewicht.

Wenn X evolutionär stabil ist, dann erfüllt es Bedingung b) aus der ESS Definition. Für alle besten Antworten ungleich X auf X heisst dies, dass der Mutant gegen einen anderen Mutanten einen geringeren Nutzen erzielen muss als X gegen einen Mutanten. Die Strategien Y und Z sind beste Antworten auf X, da u2(X,Y) = u2(X,Z) = 2 = u2(X,X). Allerdings gilt, dass

u(X,Y) = u(X,Z) = 1 > u(Y,Y) = u(Z,Z) = 0,

weswegen X die Mutantenbedingung b) erfüllt und somit ein ESS ist. Die Mutantenbedingung besagt, dass falls es eine weitere beste Antwort auf X gibt, X gegen die Mutanten Y,Z besser abschneiden muss, als die Mutanten Y,Z gegen sich selbst.

Einzige evolutionär stabile Strategie: X.

(b)

Das Paar (X,X) ist zwar auch in der gemischten Erweiterung mit Wahrscheinlichkeiten p_1, p_2, p_3 \in [0,1] und q_1, q_2, q_3 \in [0,1] ein Nash-Gleichgewicht:

Man berechne dazu die partiellen Ableitungen der Nutzenfunktion

 \tilde{u} = -p_1 q_1 - 3p_1 q_2 + p_1 - 3p_2 q_1 - 6p_2 q_2 + 3 p_2 + 2q_1 + 3q_2

in gemischten Erweiterungen. Aus Symmetriegründen gilt der Nutzenwert für diese Strategiekombination dann auch für Spieler 2. Ableitung nach p1,p2:

\frac{\partial \tilde{u}}{\partial p_1} = -q_1 - 3q_2 + 1 := 0

\frac{\partial \tilde{u}}{\partial p_2} = -3q_1 - 6 q_2 + 3 := 0

Daraus folgt direkt q1 = 1,q2 = 0 und damit auch p1 = 1,p2 = 0, was dem schon bekannten Nash-Gleichgewicht (X,X) in reinen Strategien entspricht.


Dennoch ist die Strategie X in der gemischten Erweiterung von G nicht evolutionär stabil! Es existiert ein gemischter Mutant, der gegenüber X einen evolutionären Vorteil hat, nämlich α mit \alpha(Y) = \alpha(Z) = \frac{1}{2}. Für diese Wahl gilt \tilde{u}(\alpha,X) = 2 = \tilde{u}(X,X), d.h. α ist eine beste Antwort auf X. Für den Nutzen des Strategiepaares (α,α) gilt: 
\tilde{u}(\alpha,\alpha) = \frac{3}{2}

Hingegen liefert die Strategie X den geringeren Nutzen \tilde{u}(X,\alpha) = 1. Der Antezedenz (linke Seite) von Bedingung b) trifft zu, \tilde{u}(\alpha,X) = 2 = \tilde{u}(X,X), die Konsequenz aber nicht: \tilde{u}(\alpha,\alpha) = \frac{3}{2} \neq \tilde{u}(X,\alpha) = 1. Demnach ist X nicht evolutionär stabil.

Das symmetrische Nash-Gleichgewicht ist also kein ESS, obwohl es gegenüber den reinen Strategien die notwendigen Bedingungen erfüllt.


Der Mutant mit der Strategie α kommt in eine Population von Spielern, die immer die Strategie X spielen. Wird er es schaffen sich durchzusetzen? Im gegebenen Beispiel setzt er sich mit α durch, wobei jeder beliebige Mutant mit einer reinen Strategie scheitern würde.

Man kann dies so interpretieren, dass die Hälfte der Mutanten vom Typ Y und die andere vom Typ Z ist, so dass zwei zusammenarbeitende Mutanten mit Wahrscheinlichkeit 0.5 von unterschiedlichem Typ und damit sehr produktiv sind.

Quellen

Übungen zur Spieltheorie, Prof. Dr. B. Nebel, Universität Freiburg, Institut für Informatik

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