Fixpunktsatz von Kakutani

Definition: Seien M ⊂ Rm,   N ⊂ Rn. Unter einer Korrespondenz f:  M → N versteht man eine Abbildung von M → P(N). Die Korrespondenz f:  M → N heißt abgeschlossen, falls für je zwei konvergente Folgen xk → x in M, yk → y in N ( k → ∞) mit yk ∈ f(xk) ( k ∈ N ) gilt: y ∈ f(x)

Satz: (Fixpunktsatz von Kakutani, 1941) Sei Ø ≠C ⊂ Rn kompakt und konvex. Die Korrespondenz f: C →C sei abgeschlossen, und für alle x ∈C sei Ø ≠f(x) konvex. Dann hat f einen Fixpunkt, d.h. es existiert ein ε ∈C mit ε ∈f(ε)

(Siehe auch den Artikel in Wikipedia)

Beweis: Man konstruiert zunächst eine approximierende Abbildung g_ε: C ^_→C mit ε > 0. Dazu überdeckt man C ^_⊂ ∪_j B_ε(x_j) und betrachtet eíne untergeordnete Teilung der Eins:

          ψ_j: C ^_→[0,1] stetig,
          ψ_j = 0, falls x ^_∉B_ε(x_j),
          ∀ x ^_∈C ist Σ_jψ_j(x) = 1.

Für j = 1,...,N wählt man y_{j ^∈} f(x_j) ^_⊂ C und definiert: g_ε: C ^_→ C, g_ε(x) := Σ_j ψ_j(x) y_j. Nach dem Brouwerschen Fixpunktsatz hat jedes solche g_ε einen Fixpunkt, d.h.: ^_∃ξ_ε: ξ_ε = g_ε(ξ_ε). Für eine geeignete Folge ε_→0 liefert die Kompaktheit von C: ^_∃ξ ^_∈ C: ξ ^_→ ξ für ε ^_→ 0. Im folgendem wird gezeigt, das ξ ^_∈ f(ξ), d.h. ξ ist bereits der gesuchte Fixpunkt. Dazu sei V_ρ = ∪_y∈f(ξ) B_ρ(y) die ρ-Umgebung von f(ξ) bei zunächst festgehaltenen ρ > 0.

Korollar 1: Es gibt ein δ > 0 so, dass für alle x ∈ C mit | x - ε | < δ gilt:           f(x) ⊂ Vp

Beweis: Annahme: Die Aussage im Korollar wäre falsch. Dann hätte man Folgen x_{k ^∈}C, x_k^→ξ, y_{k ^∈} f(x_k) ^_⊂ C, y_{k ^∉} V_p. Da C kompakt ist, kann man nach Auswahl einer Teilfolge y_{k ^→} y annehmen, y ^_∉ V_{p ^⊃} f(ξ) im Widerspruch zur Abgeschlossenheit von f.

Im folgendem betrachtet man nun ein hinreichend kleines ε > 0, so dass ε < δ ist.

Korollar 2: Für x ∈C mit | x - ε | < δ - ε gilt:         gε(x) ∈ Vp.

Beweis: Nach Definition gilt:

Für x_j mit | x - x_j | < ε ist | ξ - x_j | + | x - x_j | < δ - ε + ε = δ, d.h. y_{j ^∈} f(x_j) ^_⊂ V_p nach Korollar 1. Da f(ξ) und damit V_p konvex ist, folgt schließlich g_{ε ^∈} V_p.

Mithilfe der beiden Korollare folgt nun: Für ε_→0 gilt (δ - ε)^→δ und | ξ_ε - ξ |_→0, also: ξ_ε = g_ε(ξ_ε) ^_∈ V_{p ^⊂} V_{p ^∪∂}V_p und somit ξ ^_∈ V_{p ^∪∂}V_p. Durch ρ_→0 erhält man dann ξ _{^{∈ ∩}ρ > 0} (V_{p ^∪∂}V_p) = f(ξ) ^_∪∂f(ξ) = f(ξ), denn f ist abgeschlossen.