Fundamentalsatz der natürlichen Selektion

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Der Fundamentalsatz der natürlichen Selektion ist ein Satz der Evolutorischen Spieltheorie mit Anwendung auf die Genetik.

Fundamentalsatz der natürlichen Selektion

Die Auszahlungsmatrix des Basisspiels sei symmetrisch: A=A^T. Für eine Lösung $x (t)$ der Replikatorgleichung

$\dot x_\mu = x_\mu(e_\mu^T A x - x^T A x)$

werde mit $ω(t): = x (t) T A x (t)$ die (durchschnittliche) Fitness bezeichnet.
Dann ist $ω(t)$ monoton wachsend.

Beweis

$\dot \omega (t)=\dot x^TAx+x^TA\dot x = \dot x^TAx+ \dot x^TA^T x = 2\dot x^TAx$ , da $\,A=A^T$ .
$\Rightarrow \dot\omega (t)=2\dot x^TAx=2\sum_{\mu} \dot x_\mu (e_\mu^TAx)-2\left(\sum_{\mu} \dot x_\mu \right) x^TAx$ , da $\sum_{\mu} \dot x_\mu =0$ .
$\Rightarrow \dot\omega (t)=2\sum_{\mu} x_\mu (\omega_\mu -\omega)^2\geq 0$ ,
da $\omega_\mu = e_\mu^TAx$ ist und da $x (t)$ die Replikatorgleichung $\dot x_\mu = x_\mu (\omega_\mu - \omega)$ erfüllt. Also ist $ω(t)$ monoton wachsend.

Bemerkungen:
Wenn $(x,x)\in \Delta^2$ ein Nash-Gleichgewicht ist, so ist die zur Gleichgewichtslösung $x (t) = x$ zugehörige Fitness konstant: $ω(t) = x T A x$ .
Allgemeiner: Die Fitness ist genau dann konstant, wenn die Lösung eine Gleichgewichtslösung ist.

Kommentar

Für die diskrete Dynamik der evolutorischen Spieltheorie gilt ein analoger Fundamentalsatz.

Fundamentalsatz der natürlichen Selektion