Fundamentalsatz der natürlichen Selektion

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Der Fundamentalsatz der natürlichen Selektion ist ein Satz der Evolutorischen Spieltheorie mit Anwendung auf die Genetik.

Fundamentalsatz der natürlichen Selektion

Die Auszahlungsmatrix des Basisspiels sei symmetrisch: A=AT. Für eine Lösung x(t) der Replikatorgleichung

\dot x_\mu = x_\mu(e_\mu^T A x - x^T A x)

werde mit ω(t): = x(t)TAx(t) die (durchschnittliche) Fitness bezeichnet.
Dann ist ω(t) monoton wachsend.

Beweis

\dot \omega (t)=\dot x^TAx+x^TA\dot x = \dot x^TAx+ \dot x^TA^T x = 2\dot x^TAx, da \,A=A^T.
\Rightarrow \dot\omega (t)=2\dot x^TAx=2\sum_{\mu} \dot x_\mu (e_\mu^TAx)-2\left(\sum_{\mu} \dot x_\mu \right) x^TAx, da  \sum_{\mu} \dot x_\mu =0.
\Rightarrow \dot\omega (t)=2\sum_{\mu} x_\mu (\omega_\mu -\omega)^2\geq 0,
da  \omega_\mu = e_\mu^TAx ist und da x(t) die Replikatorgleichung \dot x_\mu = x_\mu (\omega_\mu - \omega) erfüllt. Also ist ω(t) monoton wachsend.

Bemerkungen:
Wenn (x,x)\in \Delta^2 ein Nash-Gleichgewicht ist, so ist die zur Gleichgewichtslösung x(t) = x zugehörige Fitness konstant: ω(t) = xTAx.
Allgemeiner: Die Fitness ist genau dann konstant, wenn die Lösung eine Gleichgewichtslösung ist.

Kommentar

Für die diskrete Dynamik der evolutorischen Spieltheorie gilt ein analoger Fundamentalsatz.

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