Gleichgewicht in korrelierten Strategien
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Einführung
In Situationen, in denen die Spieler weder bindende Verträge abschließen, noch miteinander kommunizieren können, bevor sie eine Entscheidung treffen,ist das Nash-Gleichgewicht ein Lösungskonzept.Die eigene Strategiewahl,wird also nicht von der Wahl der Mitspieler abhängig gemacht.
Für alle Spieler sind oft bessere Lösungen denkbar, sollten diese in Kontakt miteinander treten. Die Möglichkeit bindende Verträge miteinander zu schließen muss dabei nicht gegeben sein. Es kann im Interesse der Spieler sein, ihre Strategien von dem der anderen abhängig zu machen (zu korrelieren). Aumann entwickelte ein Gleichgewichtskonzept, das eine Abstimmung der Strategien erlaubt: Gleichgewicht in korrelierten Strategien
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Idee
Iddee illustriert anhand des Spiels Kampf der Geschlechter
| Frau | |||
| Fußball(x21) | Konzert(x22) | ||
| Mann | Fußball(x11) | 3,1 | 0,0 |
| Konzert(x12) | 0,0 | 1,3 | |
Dieses Spiel besitzt zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien.
Es ist eher unwahrscheinlich, dass ein Spieler richtig antizipiert, welches Nash-Gleichgewicht, der andere erwartet, ausser natürlich es gibt ein Nash-Gleichgewicht das die Aufmerksamkeit beider Spieler durch eine bestimmte Eigenschaft von vornherein auf sich zieht.Z.b. wenn Der Mann und die Frau in einer Welt leben, in der der Mann immer sein Willen bekommt, dann werden sich beide dafür entscheiden, zum Fußball zu gehen. Ist dass nicht so, so herrscht Unsicherheit über die Wahl der Strategie des anderen.
Unter diesen Bedingungen sollte man eine Modellierung in gemischten Strategien betrachten. Ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien gibt es in Spieler 1 = 0,75; Spieler 2 = 0,25 mit einer erwarteten Auszahlung von 0,75 pro Spieler, was weniger ist, als jeder in einem der beiden Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien erhalten würde.
Es wäre also von Vorteil, wenn die beiden Spieler miteinander kommunizieren würden.Die beiden Spieler können sich nun entscheiden ob sie eine Münze werfen und diese entscheiden lassen, welches Nash-Gleichgewicht sie spielen oder, sie machen dass untereinander aus, wobei sie sich auch ohne bindende Vereinbarung an diese Abmachung halten.
Egal ob sie sich dfür entscheiden(x11,x21) oder x12,x22) zu spieln, beide sind vor Realisation der Zufallsvariablen gleich wahrscheinlich (w=0,5).
Dieses Spiel bring für jeden einen erwarteten Nutzen von 2. Jeder hat auch ein Interesse daran, sich an die abgemachte Wahl zu halten, egal ob durch die Münze oder aus der gemeinsamen Absprache resultierend, da beide Nash-gleichgewichte sind.
Definition
Eine korrelierte Strategie ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung w(x) über die Menge S aller reinen Strategiekombinationen,d.h. eine Verteilung über S, für die gilt:
und
für alle x aus S.
Die Verteilung w(x) ist allen Spielern bekannt.
Definition
Ein Gleichgewicht in korrelierten Strategien besteht dann, wenn keiner der Spieler einen Anreiz hat, von der Abmachung abzuweichen. Es muss also gelten:
für alle xj∈S
Beispiel
Das Angsthasenspiel.
| Spieler1/2 | ausweichen | fahren |
| ausweichen | (4,4) | (2,6) |
| fahren | (6,2) | (0,0) |
Es gibt zwei Nash-Gleichgewichte in reinen strategien (2,6) und (6,2) sowie ein Nash-Gleichgewicht in gemischten Startegien das die erwartete Auszahlung (3,3) bringt. Hier könnte die Spieler Wenn sie miteinander kommunizieren einen grösseren Nutzen erreichen. Würeden beide Spieler vor der Fahrt eine Münze werfen, wobei bei Kopf Spieler 2 aufgibt und bei Zahl Spieler 1 , dann könnte jeder durch die korrelierte Strategie einen Nutzen von 4 erreichen.
Zusammenhang zu Nash-Gleichgewichten
Jedes Nash-Gleichgewicht ist ein Spezialfall eines Gleichgewichts in korrelierten Strategien, bei dem die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Spieler ihre Strategien wählen, unabhängig,also nicht korreliert sind. In diesem Fall gilt:
w(x) = w(x1) * w(x2)
Effiziente korrelierte Strategien
Effiziente korrelierte Strategien kann man ermitteln, indem man den gewichteten Nutzen aller Spieler unter Berücksichtigung der Ungleichung maximiert. Es liegt ein einfaches konvexes lineares Optimierungsproblem vor, da sowohl die beschränkungen als auch die Zielfunktion in w linear sind.
