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1 Das Heiratsmarktmodell

Das Heiratsmarktmodell

Das Heiratsmarktmodell dient der Betrachtung von Allokationsproblemen, wie sie im Alltag in den unterschiedlichsten Situationen vorkommen können. In diesem Fall betrachten wir den Fall, dass Männer und Frauen verheiratet werden.

Weiter lässt sich dieses Modell beispielsweise auch bei der Verteilung von Arbeitsplätzen auf Arbeitnehmer oder auch bei komplexeren Problemen anwenden.

Vorüberlegungen

Um ein solches Modell zu konstruieren braucht man (mindestens) zwei Spielermengen, in unserem Fall ist das die Menge der Männer $M = {m 1,..., m k}$ und die Menge der Frauen $W = {w 1,..., w n}$ . Weiter gibt es eine Nutzenfunktion $U_{m_i}={w_j}$ oder $U_{m_i}={m_i}$ , also $U_m \in W \cup \{m\}$ . Interpretieren kann man die Nutzenfunktion so, dass Mann i Frau j heiraten will (1. Fall) oder lieber alleine bleibt (2. Fall)

Analog ist die Nutzenfunktion der Frau: $U_{w_j}={m_l}$ oder $U_{w_j}={w_j}$

Beispiel

$U_{m_i}(w_j)>U_{m_i}(m_i)>U_{m_i}(w_l)$ bedeutet, dass Mann i lieber Frau j heiratet, als single zu sein und lieber single ist, als Frau l zu heiraten.

Definition: Heiratsmarktmodell

Ein Heiratsmarkt (M,W,U) bestet aus den disjunkten Individuenmengen M und W und den Nutzenfunktionen $(U_i)_{i \in M \cup W}$ die für $m \in M$ auf $W \cup \{m\}$ und für $w \in W$ auf $M \cup \{w\}$ definiert sind.

Bemerkung

Im Vergleich zu anderen Nutzenfunktionen ist der Spieler diesmal selbst Teil seines Nutzens.

Eine Allokation auf einem Gütermarkt ordnet Spielern diese Güter in bestimmten Mengen zu und erfüllt dabei einen Nutzen. Die Alloktion auf dem Heiratsmarkt enthält die Spieler owohl im Definitionbereich als auch im Wertebereich.

Definition: Allokation auf dem Heiratsmarkt

Auf dem Heiratsmarkt (M,W,U) heißt eine Abbildung $\mu: M \cup W \rightarrow M \cup W$ Allokation, wenn sie folgende zwei Bedingungen erfüllt:

- $\mu(m) \ne m \Rightarrow \mu(m) \in W \ \forall m \in M$ und

- $\mu(w) \ne w \Rightarrow \mu(w) \in M \ \forall w \in W$

Bemerkung

Eine Zuordnung von gleichgeschlechtlichen Paaren ist hier ausgeschlossen.

Es kann zu einer weiteren Problematik kommen: $U_{m_i}(w_j) \ne U_{w_j}(m_i)$ , d.h. Mann i will Frau j heiraten, die ihn nicht heiraten will oder Frau j will Mann i heiraten, der lieber single ist.

Aus diesem Grund noch eine abschließende Definition:

Definition: zulässige Allokation

Eine Allokation auf dem Heiratsmarkt (M,W,U) mit $\mu: M \cup W \rightarrow M \cup W$ heißt zulässig, wenn $\mu(\mu(i))=i \ \forall i \in M \cup W$

Bemerkung

$μ(μ(i)) = i$ bedeutet genau, dass Person i entweder nicht verheiratet ist oder gerade so verheiratet ist, dass der Partner auch mit der Person verheiratet sein will.

Die Koalitionsfunktion der Kaolition C ohne transferierbaren Nutzen auf dem Heiratsmarkt ist dann definiert für $C \ne \varnothing: V(C)=\{u_C \in {\R}^{|C|}: \exists\$ zulässiges $\ \mu \ mit \ u_i \le U_i(\mu(i)), i \in C \}$

Anwendungsbeispiel

Ein namhafter Arbeitgeber A hat eine freie Stelle zu besetzten, die sehr gut bezahlt ist. Wegen der guten Bezahlung und des guten Rufs kann er auf eine große Anzahl N an Bewerbern zurückgreifen, die er nacheinander zum Bewerbungsgespr äch einläd. In dem Gespräch kann er die Stärken herausfinden, und die Bewerber anhand einer Ordnungsrelation bewerten, jedoch ohne konkrete Nutzenfunktion. Wenn er einen Bewerber nicht sofort einstellt, bewirb er sich bei einem anderen Unternehmen und steht für den Arbeitgeber A nicht mehr zur Verfügung.

Lösung:
A wählt folgende Startegie: Er bewertet die ersten $1\le g <N$ Bewerber mit einer Ordnung, also $\exists 1\le i \le f \forall 1 \le i \ne j \le f: U_A(B_j)<U_A(B_i)$ . Diese lehnt er ab, da er hofft, noch bessere Bewerber zu finden. Aus den verbleibenden N - f Bewerbern stellt er denjenigen ein, für den als erstes gilt: $\exists 1\le k \le N-f: U_A(B_{f+k}>U_A(B_i)$ .
Im Folgenden soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, den besten Bewerber (definiert als $B b$ ) einzustellen. Hierzu ist eine Fallunterscheidung nötig;
1. Fall: Es gibt kein $1\le k \le N-f: U_A(B_{f+k})>U_A(B_i)$ . Die Strategie ist gescheitert und er kann nicht den besten Bewerber einstellen (entweder gehören sowohl $B i$ als auch der zweitbeste Bewerber (definiert als $B z$ ) zu den f abgewiesenen Bewerbern oder aber $B i < B z$ . Die Zweite Möglichkeit bedeutet, dass er den besten Bewerber bereits vor der Zweitbesten abgelehnt hat).
2. Fall: $\exists 1\le k \le N-f: U_A(B_{f+k})>U_A(B_i)$ . $B z$ ist unter den ersten f Bewerbern, und damit insbesondere $B_z=B_i \ mit \ P(B_z=B_i)=\frac{f}{f+k-1}$ . Die Wahrscheinlichkeit, $B b$ an Stelle $1 \le l \le N$ einzuladen ist $\frac{1}{N}$ , und es folgt:
$P(B_z=B_i)=\sum_{k=1}^N \frac{1}{N} \frac{f}{f+k-1}$ . Für N groß genug, kann man die Summe als Integral approximieren:
$P(B_z=B_i)=\sum_{k=1}^N \frac{1}{N} \frac{f}{f+k-1} \approx \frac{1}{N} \int\limits_{f}^N \frac{f}{\mu}d\mu = -\frac{f}{N}ln(\frac{f}{N})$ . Ableiten liefert:
$\frac{d}{df}(-\frac{f}{N}ln(\frac{f}{N}))=-\frac{1}{N} -\frac{1}{N} ln(\frac{f}{N})=0 \Rightarrow ln(\frac{f}{N})=-1 \Leftrightarrow \frac{1}{N}=e^{-1} \Leftrightarrow f= \frac{N}{e}$ . Einsetzen in die Funktion:
$P(B_z=B_i)= -\frac{ \frac{N}{e} }{N} ln(\frac{ \frac{N}{e} }{N})= -\frac{1}{e} ln(\frac{1}{e})= \frac{1}{e} \approx 37%$ . Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 37% wird also der beste Bewerber eingestellt.