Koalitionsspiel: Imputationsmenge

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Die Imputationsmenge ist eine mögliche Menge der Lösungsauszahlungsvektoren bei einem kooperativen Spiel v(N) der Spielermenge N={1,...,n} mit der charakteristischen Funktion V. Für die Lösungsmenge werden folgende Annahmen getroffen:

  • Individuelle Rationalität: Jeder Spieler bekommt mindestens soviel, wie er sich selbst garantieren kann, d.h. für einen Lösungsauszahlungsvektor u gilt

u=(u_{1},...,u_{n})\quad mit\quad u_{i}\geq V(\{i\}) \quad \forall i=1,...n

  • Effizienzerfordernis: Ein Lösungsauszahlungsvektor u aus v(N)muss effizient sein, d.h. es darf keinen anderen Auszahlungsvektor û geben mit

\hat {u}=(\hat{u}_{1},...,\hat{u}_{n})\in v(N)\quad  \hat{u}_{i}>u_{i}\quad \forall i \in N.

v*(N) sei die Menge der effizienten Auszahlungsvektoren u aus v(N).


Die Imputationsmenge I(v) des kooperativen Spiels v hat dann folgende Gestalt: I(v)=\{u\in \mathbf{R}^{n} : u\in v^{*}(N) \quad und \quad \forall i\in N \,\, gilt: \,\,u_{i}\geq V(\{i\})\,\}


Die Imputationsmenge am Beispiel des APEX-Spiel:

I(v)=\left\{u\in \mathbf{R}^{n}_{+} : \sum_{i\in N}u_{i}=1 \right\}

Beweis:

  • Da v({i})=0 für alle i=1,...,n, ist die individuelle Rationalität für alle Auszahlungsvektoren erfüllt.
  • Effizienz:

\supseteq : Sei\quad u\in \mathbf{R}^{n}_{+} :
 \sum_{i\in N}u_{i}=1.\quad Angenommen\,\, \exists \,\,\hat {u}=(\hat{u}_{1},...,\hat{u}_{n})\in v(N)\quad  mit \quad \hat{u}_{i}>u_{i} \quad \forall i\in N \Rightarrow \quad \sum_{i\in N}\hat{u}_{i}>1. Widerspruch zur Voraussetzung des Apex-Spiels \Rightarrow u\in v^{*}(N).

\subseteq : Angenommen \,\,\exists\,\, \bar{u}=(\bar{u}_{1},...,\bar{u}_{n})\quad mit \quad \sum_{i\in N}\bar{u}_{i}=1-a<1  \Rightarrow \exists u\in v(N)\quad mit\quad u_{i}>\bar{u}_{i} \,\,\forall i\in N,

z.B.\quad u_{i}=(\bar{u}_{1}+\frac{a}{n},...,\bar{u}_{n}+\frac{a}{n})\Rightarrow \bar{u}\quad nicht\,\, effizient.



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