Koalitionsspiel: Kern

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Der Kern ist eine mögliche Menge der Lösungsauszahlungsvektoren bei einem kooperativen Spiel. Für die Lösungsmenge werden folgende Annahmen getroffen:

Individuelle Rationalität: Jeder Spieler bekommt mindestens soviel, wie er sich selbst garantieren kann, d.h. für einen Lösungsauszahlungsvektor u=(u_{1},...,u_{n}) gilt

$u_{i}\geq v(\{i\}) \quad \forall i=1,...n$

Effizienzerfordernis: Ein Lösungsauszahlungsvektor u aus v(N) mit N={1,...,n} muss effizient sein, d.h. es darf keinen anderen Auszahlungsvektor û geben mit

$\hat {u}=(\hat{u}_{1},...,\hat{u}_{n})\in v(N)\quad \hat{u}_{i}>u_{i}\quad \forall i \in N.$

Gruppenrationalität: Für alle C aus P(N) darf ein Lösungsauszahlungsvektor u nicht durch C verwerfbar sein, d.h. es darf keinen anderen Auszahlungsvektor û aus v(C) mit û_{i} > u_{i} für alle i aus C geben. D.h. die Mitglieder von C können sich selbst kein besseres Ergebnis sichern, als u ihnen zuweist.

Der Kern C(v) des Spiels v hat dann folgende Gestalt:

$C(v)=\left\{u\in\mathbf{R}^{n} : \forall\, C \in \mathcal{P} (N)\,\, \quad ist\quad u\,\,\quad durch\quad C \quad nicht \,\,verwerfbar\right\}$

Hinweis: Werden nur die individuelle Rationalität und die Effizienz gefordert, so ist die Menge der Lösungsauszahlungsvektoren gleich die Imputationsmenge. Der Kern ist also eine Teilmenge der Imputationsmenge.

Der Kern am Beispiel des APEX-Spiel

Der Kern ist leer.

Beweis:

Behauptung: alle Spieler i=2,...,n im Kern müssen die gleiche Auszahlung haben.

Beweis: angenommen Spieler j hat eine geringere Auszahlung als die Spieler i=2,...,j-1,j+1,...,n. Dann kann die Koalition C={1,j} den Auszahlungsvektor verwerfen.

$\Rightarrow u_{i}=\frac{1}{n-1} \,\, fuer \,\,i=2,...,n.$