Koalitionsspiel: Kern

Aus Wikiludia
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Kern ist eine mögliche Menge der Lösungsauszahlungsvektoren bei einem kooperativen Spiel. Für die Lösungsmenge werden folgende Annahmen getroffen:


  • Individuelle Rationalität: Jeder Spieler bekommt mindestens soviel, wie er sich selbst garantieren kann, d.h. für einen Lösungsauszahlungsvektor u=(u_{1},...,u_{n}) gilt

u_{i}\geq v(\{i\}) \quad \forall i=1,...n

  • Effizienzerfordernis: Ein Lösungsauszahlungsvektor u aus v(N) mit N={1,...,n} muss effizient sein, d.h. es darf keinen anderen Auszahlungsvektor û geben mit

\hat {u}=(\hat{u}_{1},...,\hat{u}_{n})\in v(N)\quad  \hat{u}_{i}>u_{i}\quad \forall i \in N.

  • Gruppenrationalität: Für alle C aus P(N) darf ein Lösungsauszahlungsvektor u nicht durch C verwerfbar sein, d.h. es darf keinen anderen Auszahlungsvektor û aus v(C) mit û_{i} > u_{i} für alle i aus C geben. D.h. die Mitglieder von C können sich selbst kein besseres Ergebnis sichern, als u ihnen zuweist.

Der Kern C(v) des Spiels v hat dann folgende Gestalt:

 C(v)=\left\{u\in\mathbf{R}^{n} : \forall\, C \in \mathcal{P} (N)\,\, \quad ist\quad u\,\,\quad durch\quad C \quad nicht \,\,verwerfbar\right\}


Hinweis: Werden nur die individuelle Rationalität und die Effizienz gefordert, so ist die Menge der Lösungsauszahlungsvektoren gleich die Imputationsmenge. Der Kern ist also eine Teilmenge der Imputationsmenge.


Der Kern am Beispiel des APEX-Spiel

Der Kern ist leer.

Beweis:

Behauptung: alle Spieler i=2,...,n im Kern müssen die gleiche Auszahlung haben.

Beweis: angenommen Spieler j hat eine geringere Auszahlung als die Spieler i=2,...,j-1,j+1,...,n. Dann kann die Koalition C={1,j} den Auszahlungsvektor verwerfen.

\Rightarrow u_{i}=\frac{1}{n-1} \,\, fuer \,\,i=2,...,n.

\sum_{i\in N}u_{i}=1 \Rightarrow  u_{1}=0.

Dieser Auszahlungsvektor kann durch jede Koalition C={1,j}mit j=2,...,n verworfen werden.

Der Kern am Beispiel des Drei-Personen-Spiels

Hinweis: Hier ist der Kern nicht leer.


Der Kern am Beispiel Schatzsuche

Hinweis:

Für den Fall:

|N| \geq 2 geradel iegt der Verteilungsvektor im Kern

|N| \geq 3 ungerade ist der Kern leer!


zurück zu Koalitionsspiel
zurück zur Liste der Schlüsselwörter

Meine Werkzeuge