Koordinationsspiele

Koordinationsspiele sind eine Klasse von Spielen mit mehreren Nash-Gleichgewichten in reinen Strategien, in denen die Spieler dieselbe oder korrespondierende Strategien wählen. Koordinationsspiele beschreiben das Koordinationsproblem, das in den Gesellschaftswissenschaften und in der Wirtschaftswissenschaft weit verbreitet ist, d.h. dass alle Teilnehmer gemeinsame Gewinne erziehlen können, aber nur, wenn sie einheitliche Entscheidungen treffen. Eine bekannte Anwendung ist die Wahl von technischen Standarts.

Allgemein

Ein allgemeines Beispiel ist das folgende Spiel mit 2 Spielern und 2 Strategien und der Auszahlungsmatrix

Wenn das Spiel ein Koordinationsspiel ist, gelten folgende Ungleichungen für Spieler 1 (Zeilen): A>B, D>C, und für Spieler 2 (Spalten): a>b, d>c. Die Strategien {links,hoch} und {rechts,runter} sind reine Nash-Gleichgewichte. Diese Spiel kann erweitert werden mit mehr als zwei Strategien, diese sind dann normalerweise so angeordnet, dass die Nash-Gleichgewichte die Diagonale von links oben nach rechts unten bilden; außerdem kann man mehr als zwei Spieler einfügen.

Beispiele

Typisches Beispiel

Ein typischer Fall eines Koordinationsspiels ist, auf welcher Straßenseite man fährt, ein Standard, der Leben retten kann wenn sich jeder daran hält. Als vereinfachtes Beispiel nimmt man eine einspurige Straße und zwei Autos, die sich darauf entgegenfahren. Beide müssen ausweichen, um eine Kollision zu vermeiden. Weichen jeweils beide von ihnen aus gesehen nach rechts oder links aus, fahren sie aneinander vorbei, andernfalls stoßen sie zusammen. In der folgenden Auszahlungsmatrix steht der Payoff 10 für "vorbeifahren" und 0 für "zusammenstoßen".

Hier gibt es zwei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien, entweder beide weichen nach links aus oder beide nach rechts. Es spielt also keine Rolle, welche Seite sie wählen, solange sie nur beide dieselbe wählen. Beide Lösungen sind pareto-effizient.

Gleiche Interessen

Dies gilt jedoch nicht für alle Koordinationsspiele, wie das folgende reine Koordinationsspiel zeigt. Reine Koordination ist, wenn beide Spieler dasselbe Nash-Gleichgewicht bevorzugen, im folgenden gehen beide lieber zum Fußball als ins Konzert.

{Fußball,Fußball} pareto-dominiert {Konzert,Konzert}, und beide pareto-dominieren {Fußball,Konzert} und {Konzert,Fußball}.

Interessenkonflikt

Doch nicht immer bevorzugen beide Spieler dasselbe Nash-Gleichgewicht, wie der folgende Kampf der Geschlechter zeigt, der im gleichnamigen Artikel ausführlich behandelt wird. Hier sei nur angemerkt, dass in diesem Fall zwar beide Spieler eine gemeinsame Aktivität bevorzugen, ihre Präferenzen bei der Wahl der Aktivität aber auseinandergehen.

Konflikt zwischen Sicherheit und Zusammenarbeit

Die Hirschjagd, ebenfalls im gleichnamigen Artikel ausführlich behandelt, beschreibt eine Situation, in der beide Spieler von einer Zusammenarbeit (Hirsch jagen) profitieren können. Diese Zusammenarbeit könnte aber fehlschlagen, denn jeder Spieler hat eine sichere Alternative, bei der er nicht auf Zusammenarbeit angewiesen ist (Hase jagen).

Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien

Koordinationsspiele haben außerdem Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien. Im allgemeinen Koordinationsspiel von oben ist es gegeben durch die Wahrscheinlichkeiten "hoch" zu spielen und 1-p "runter" für Spieler 1, und "links" zu spielen und 1-q "rechts" für Spieler 2. Da d>c und d-c<a-b-c+d ist, ist p immer zwischen 0 und 1, es existiert also (ähnlich für q). Anders als die reinen Nash-Gleichgewichte sind die Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien jedoch keine evolutionär stabile Strategie. Das Nash-Gleichgewichte in gemischten Strategien wird außerdem pareto-dominiert von den zwei reinen Nash-Gleichgewichten (da die Koordination mit nicht-negativer Wahrscheinlichkeit fehlschlägt).

Anti-Koordinationsspiele

2 Spieler

Das bekannteste Beispiel für ein Anti-Koordinationsspiel ist das Angsthasenspiel (siehe gleichnamiger Artikel). Benutzen wir wieder die allgemeine Payoff-Matrix von oben, ist ein Spiel genau dann ein Anti-Koordinationsspiel wenn B>A und C>D für Spieler 1 (analog für Spieler 2) {runter,links} und {hoch,rechts} sind nun die zwei reinen Nash-Gleichgewichte. Beim Angsthasenspiel muss außerdem A>C sein, so dass ein Wechsel von {hoch,links} nach {hoch,rechts} den Payoff von Spieler 2 erhöht, aber den von Spieler 1 verringert, wodurch der Konflikt entsteht.

n Spieler

Das Konzept der Anti-Koordinationsspiele kann erweitert werden für mehr als 2 Spieler.

Crowdingspiel

Beim Crowdingspiel verschlechtert sich der Payoff eines Spielers mit jedem weiteren Spieler, der dieselbe Strategie wählt. Zum Beispiel könnte ein Autofahrer von München nach Salzburg auf der A8 fahren oder über die Landstraße. Die Autobahn ist kürzer, jedoch gibt es entlang der Landstraße Sehenswürdigkeiten, die Fahrer haben unterschiedliche Präferenzen unabhängig vom Verkehr. Doch jedes weitere Auto auf einer Stecke erhöht die Reisedauer, und selbst Fahrer die es eilig haben könnten so die Landstraße nehmen, wenn auf der Autobahn zu viel Verkehr ist.

Minderheitenspiel

Beim Minderheitenspiel ist das einzige Ziel aller Spieler, Teil der kleineren von zwei Gruppen zu sein. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist das ElFarolBar-Problem.

Diskoordinationsspiele

Eine Mischung aus Koordinations- und Anti-Koordinationsspielen sind die Diskoordinationsspiele. Hier will ein Spieler zusammenarbeiten, der andere aber nicht. Diskoordinationsspiele haben keine Nash-Gleichgewichte. In der allgemeinen Payoff-Matrix von oben ist nun A>B und D<C, während a < b und c > d ist. In jedem der vier möglichen Ergebnisse ist es entweder für Spieler 1 oder für Spieler 2 besser, die Strategie zu wechseln, also ist das einzige Nash-Gleichgewicht eines in gemischten Strategien. Ein Beispiel hierfür ist das Spiel Matching Pennies.