Matrixspiele

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Definition

Matrix- oder auch Bimatrix-Spiele bezeichnen endliche Zweipersonenspiele in Normalform, in denen die Auszahlungen für jeden Spieler durch eine Matrix dargestellt werden können. Insbesondere sind also die Strategiemengen beider Spieler endlich und die entsprechenden Auszahlungmatrizen haben endlichen Rang.

Definiere: N = {1, ..., n}, M = {1, ..., m}

Spieler 1 hat als Strategiemenge S = {s1, ..., sm}, Spieler 2 hat die Menge T = {t1, ..., tn} an reinen Strategien.

vi, j bezeichne die Auszahlung an Spieler 1, wenn sich Spieler 1 und 2 für die (reinen) Strategien si bzw. tj entscheiden.

Dann ist

V = (vi, j) (i, j)∈ N x M die Auszahlungsmatrix für Spieler 1.


wi, j und
W =(wi, j) (i, j)∈ N x M entsprechend für Spieler 2.


Man kann die Auszahlungen (oder Nutzenwerte) an die beiden Spieler auch in einer gemeinsamen Matrix U darstellen. Diese Matrix enthält dann für jede Strategiekombination aus der Menge S x T der reinen Strategien ein Tupel

ui, j = (vi, j, wi, j)

Wenn die Strategien von Spieler 1 auf der Vertikalen und die von Spieler 2 auf der Horizontalen abgetragen werden ist U = (ui, j) i = 1, ..., n; j = 1, ..., m eine reelle mxn-Matrix, :


                                  Spieler 2 
                       t1       t2       ...        tn
               s1     u1, 1    u1, 2                u1, n 

Spieler 1

               s2     u2, 1    u2, 2      ...       u2, n
                .               .                    .
                .               .                    .
                .               .                    .
          
               s2     um, 1    um, 2      ...       um, n


Handelt es sich bei dem betrachteten Spiel im Speziellen um ein endliches Zweipersonen-Nullsummenspiel, so addieren sich die Auszahlungen an die beiden Spieler in jeder gespielten Strategiekombination aus S x T zu 0. Der Verlust des einen Spielers ist stets der Gewinn des anderen.

Das bedeutet: Gegeben sei ein Spiel mit zwei Spielern mit jeweils endlicher Strategiemenge S und T, sowie den Nutzenfunktionen

u1: S x T  \rightarrow 
u2: S x T  \rightarrow
mit der Eigenschaft
u2(si, tj) = - u1(sj, si) für alle (si, tj) ∈ S x T.

Aufgrund dieser Definition genügt die Angabe nur einer Nutzenfunktion, die man wegen der Endlichkeit der Strategiemengen und der Zahl der Spieler als Matrix schreiben kann:


u_{1} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix}


Beispiele

Stein-Schere-Papier


Gemischte Strategien in Matrixspielen

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