Maximinlösung

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Definition und Abgrenzung

Definition : Eine Strategiekombination für nicht-kooperative Spiele in strategischer Form s * ist eine Lösung in Max-Min-Strategien (Maximinlösung), wenn für alle Spieler i \in M=\{1,\ldots ,N\} gilt:
Min_{s_{-i} \in S_{-i}}u_i ( s ^ *_i,s_{-i})  \ge  Min_{s_{-i} \in S_{-i}}u_i (s _i,s_{-i}) \quad \forall i \quad \wedge \quad \forall s_i \in S_{i}
oder einfacher:
 \quad \forall i \,:\, Max_{s_i \in S_i}[Min_{s_{-i} \in S_{-i}} u_( s _i,s_{-i})]=Min_{s_{-i} \in S_{-i}}u_i ( s ^ *_i,s_{-i})

Veranschaulichung

Ein extrem risikoscheuer Spieler könnte sehr pessimistische Erwartungen folgender Art haben: Mein Mitspieler wird versuchen, mir das Schlimmste anzutun; deshalb muß ich die Strategie wählen, bei der ich mir auch im ungünstigsten Fall noch einen relativ hohen Nutzen sichern kann. Ein risikoaverser Spieler wird also versuchen, seinen minimalen Gewinn zu maximieren.


Relevanz

Das Maximinkriterium macht vor allem in strikt kompetitiven Spielen Sinn. Das sind Spiele, bei denen der Gewinn des einen Spielers immer auf Kosten der anderen geht. Wenn also in einem zwei Personen Spiel ein Spieler etwas dazu gewinnt, verliert der andere dabei automatisch etwas; dazu zählen insbesondere auch die sogenannten Nullsummenspiele. Bei diesen vereinfacht sich das Nash-Gleichgewicht zum Minimax-Prinzip, was besagt, dass die Maximinlösung gleich dem Minmaxgewinn ist.

Beispiel

s21 s22 s23
s11 (0,0) (6,6) (2,2)
s12 (6,6) (8,8) (0,2)
s13 (2,2) (2,0) (1,1)


Für Spieler 1 beträgt das minimale Nutzenniveau 0, wenn er die Strategien s11 oder s12 wählt, und 1, wenn er die Strategie s13 spielt. Nach dem beschriebenen Kriterium (es wird als Maximinstrategie bezeichnet) ist deshalb s13 optimal: Die ungünstigste Konsequenz der Strategie s13 ist besser als die ungünstigste Konsequenz der beiden anderen Strategien.
Spieler 2 wird sich nach diesem Kriterum für s23 entscheiden.
Die Maximinlösung s * = (s13,s23) = (1,1). Man beachte hierbei, dass diese Lösung in diesem Fall kein Nash-Gleichgewicht ist!

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