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==  Definition und Abgrenzung ==

'''Definition ''': Eine Strategiekombination für nicht-kooperative Spiele in [[Normalform|strategischer Form]] <math>s^*</math> ist eine Lösung in Max-Min-Strategien (''Maximinlösung''), wenn für alle Spieler <math>i \in M=\{1,\ldots ,N\}</math> gilt:<br>
<math>Min_{s_{-i} \in S_{-i}}u_i ( s ^ *_i,s_{-i})  \ge  Min_{s_{-i} \in S_{-i}}u_i (s _i,s_{-i}) \quad \forall i \quad \wedge \quad \forall s_i \in S_{i} </math><br>
oder einfacher:<br>
<math> \quad \forall i \,:\, Max_{s_i \in S_i}[Min_{s_{-i} \in S_{-i}} u_( s _i,s_{-i})]=Min_{s_{-i} \in S_{-i}}u_i ( s ^ *_i,s_{-i})</math>

==  Veranschaulichung ==

Ein extrem risikoscheuer Spieler könnte sehr pessimistische Erwartungen folgender Art haben: Mein Mitspieler wird versuchen, mir das Schlimmste anzutun; deshalb muß ich die Strategie wählen, bei der ich mir auch im ungünstigsten Fall noch einen relativ hohen Nutzen sichern kann. Ein risikoaverser Spieler wird also versuchen, seinen minimalen Gewinn zu maximieren.


==  Relevanz ==

Das Maximinkriterium macht vor allem in [[strikt kompetitiven Spielen]] Sinn. Das sind Spiele, bei denen der Gewinn des einen Spielers immer auf Kosten der anderen geht. Wenn also in einem zwei Personen Spiel ein Spieler etwas dazu gewinnt, verliert der andere dabei automatisch etwas; dazu zählen insbesondere auch die sogenannten [[Nullsummenspiel|Nullsummenspiele]]. Bei diesen vereinfacht sich das [[Nash-Gleichgewicht]] zum [[Minimax-Prinzip]], was besagt, dass die Maximinlösung gleich dem Minmaxgewinn ist.

==  Beispiel ==

<center>
{| border="1" cellspacing="3" cellpadding="4"
|
|<math>s_{21}</math>
|<math>s_{22}</math>
|<math>s_{23}</math>
|-
|<math>s_{11}</math>
| (0,0) 
| (6,6) 
| (2,2) 
|-
| <math>s_{12}</math>
| (6,6) 
| (8,8) 
| (0,2) 
|-
| <math>s_{13}</math>
| (2,2) 
| (2,0) 
| (1,1) 
|}
</center>
<br>
Für Spieler 1 beträgt das minimale Nutzenniveau 0, wenn er die Strategien <math>s_{11}</math> oder <math>s_{12}</math> wählt, und 1, wenn er die Strategie <math>s_{13}</math> spielt. Nach dem beschriebenen Kriterium (es wird als '''Maximinstrategie''' bezeichnet) ist deshalb <math>s_{13}</math> optimal: Die ungünstigste Konsequenz der Strategie <math>s_{13}</math> ist besser als die ungünstigste Konsequenz der beiden anderen Strategien.<br>
Spieler 2 wird sich nach diesem Kriterum für <math>s_{23}</math> entscheiden.<br>
Die '''Maximinlösung''' <math>s^*=(s_{13},s_{23})=(1,1)</math>. Man beachte hierbei, dass diese Lösung in diesem Fall '''kein''' [[Nash-Gleichgewicht]] ist!