Nash-Gleichgewicht:Berechnung bei symmetrischen Spielen

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Die Nash-Gleichgewichte für symmetrische Spiele haben ihre Bedeutung als Kandidaten für stabile Strategien und stabile Gleichgewichte der evolutorischen Spieltheorie. Allerdings ist man in diesem Kontext nur an den symmetrischen Nash-Gleichgewichten interessiert.

Definition (Symmetrisches Nash-Gleichgewicht): Es sei ein symmetrisches Spiel mit endlicher Strategiemenge S = {s1, s2, ... , sm} durch die Auszahlungsmatrix

A = (aij)

der Auszahlungen aij := u1(si, sj) gegeben. Ein symmetrisches Nash-Gleichgewicht (in gemischten Strategien) ist ein Strategieprofil

(\sigma_1, \sigma_2)\in \Delta^2

mit σ1 = σ2, wobei Δ die Menge der Wahrscheinlichkeitsverteilungen σ = (p1, p2, ... , pm) ist, also p_j \geq 0 , p_1 + p_2 + ... + p_m = 1 .

Berechnung eines voll gemischten, symmetrischen Nash-Gleichgewichtes: Eine gemischte Strategie σ = (p1, p2, ... , pm) heißt voll gemischt, wenn für all j stets pj > 0 gilt, wenn also jede reine Strategie echt in σ vertreten ist.

Satz: Für ein voll gemischtes Nash-Gleichgewicht (σ,σ) ergibt sich σ = (p1, p2, ... , pm) durch Gleichsetzen der Komponenten des Vektors Aσ.

Beweis: Es seien xj die Komponenten von Aσ. Damit die Strategie σ beste Antwort auf σ sein kann (und damit ein symmetrisches Nash-Gleichgewicht bestimmt), muss sie die lineare Funktion

\tau \mapsto \tau^T A\sigma = q_1x_1 + q_2x_2 + ... + q_mx_m ,
τ = (q1,q2,...,qm) ,

maximieren unter den Nebenbedingungen

q_j \geq 0 , q_1 + q_2 + ... + q_m = 1 ,

also auf der Menge Δ.
Wegen der Linearität der Funktion wird das Maximum auf der kompakten und konvexen Menge Δ am Rande von Δ angenommen. Unter der Voraussetzung, dass das Maximum zugleich im Inneren von Δ angenommen wird (das ist ja gerade die Bedingung, dass σ voll gemischt ist), muss der Graph der Funktion parallel zum Definitionsraum liegen, das heißt, es müssen die m Komponenten xj miteinander übereinstimmen. In diesem Fall ist die genannte Funktion τTAσ konstant in τ.

Die Aussage des Satzes bedeutet nicht, dass es immer ein voll gemischtes, symmetrisches Nash-Gleichgewicht gibt. Sie bedeutet lediglich, dass ein solches Nash-Gleichgewicht, wenn es denn existiert, durch Gleichsetzen der Komponenten von Aσ gefunden werden kann.

Beispiel: Im Falle von 2 Strategien hat man die Komponenten

a11p + a12(1 − p),
a21p + a22(1 − p),

wobei σ = (p,1 − p). Gleichsetzen führt zu

(a11a21 + a22a12)p + a12a22 = 0.

Wenn jetzt

ν: = a11a21 + a22a12

nicht verschwindet, so liefert

p: = a22a12 / ν

ein Nash-Gleichgewicht, das voll gemischt ist, wenn a22 und a12 voneinander verschieden sind, und wenn außerdem noch

(a11a21)(a22a12) > 0

gilt, um 0 < p < 1 zu gewährleisten.

Dieses p ist uns auch bekannt aus der evolutorischen Spieltheorie: (p,1-p) ist Kandidat für eine evolutionär stabile Strategie und für ein stabiles Gleichgewicht!

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