Normalform

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Ein Spiel mit endlich vielen Spielern, bei dem jeder Spieler nur einmal (und simultan mit den anderen) zieht, lässt sich mathematisch in der Normalform modellieren. Diese Form des Spiels wirkt einfach, sie zeigt aber bereits viele wesentliche Phänomene der Spieltheorie. Außerdem lassen sich komplexere Spielformen wie die Extensive Form in Normalform überführen.

Inhaltsverzeichnis

Definition (Normalform)

Ein Spiel in Normalform besteht

  • aus einer endlichen Menge M = {1,2,..,N} (die Menge der Spieler),
  • jeweils einer Menge Sk von Strategien für jeden Spieler k in M, und
  • jeweils einer Nutzenfunktion  u_k : S \to \mathbb R für jeden Spieler k in M auf dem Strategieraum  S = S_1 \times S_2 \times \ldots \times  S_N \,.

Abkürzend spricht man oft von dem Spiel Γ = (M,S,u). Dabei sind die Nutzenfunktionen zur Abbildung  u=(u_1, \ldots ,u_N) : S \to \mathbb R^N zusammengefasst.

Bemerkungen zur Bezeichnung
Ein Spiel in Normalform nennt man auch Normalformenspiel oder statisches Spiel. Man findet auch die Bezeichnung strategisches Spiel oder Spiel in strategischer Form.

Die Nutzenfunktionen werden auch Auszahlungsfunktionen oder Pay-Off genannt.
Ein Element  s = (s_1, \ldots ,s_N) \in S aus dem Strategieraum bezeichnet man als Strategieprofil oder Strategiekombination.

Erläuterungen

Ausgehend von dieser Definition der Normalform eines Spiels hängt es nun davon ab, welche Bedingungen man an

  • die Zahl N,
  • die Mengen Sk, k in M,
  • die Nutzenfunktionen uk, k in M stellt.

Das wichtigste Konzept für die Analyse der Normalformenspiele ist der Begriff des Nash-Gleichgewichts.

Beispiele

Zweipersonen-Zweistrategienspiele

D.h.: N = 2, |S1| = |S2| = 2.

In dieser Situation können wir die Normalform in tabellarischer Weise darstellen:

s12 s22
s11 u1(s11,s12) , u2(s11,s12) u1(s11,s22) , u2(s11,s22)
s21 u1(s21,s12) , u2(s21,s12) u1(s21,s22) , u2(s21,s22)


Man spricht in diesem Fall aus naheliegenden Gründen von Bimatrixspielen. Eine analoge tabellarische Darstellung, bzw. Beschriebung durch eine Bimatrix lässt sich für alls endlichen Spiele mit 2 Spielern finden.

Konkretere Beispiele finden sich z.B. unter Liste der Spiele.

Normalform vs. Extensive Form

Neben der Normalform gibt es die Extensive Form eines Spiels.

Zu jedem Spiel in extensiver Form gibt es ein eindeutig bestimmtes assoziiertes Spiel in Normalform.

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