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In diesem Artikel soll neben dem klassischen '''Cournot-Duopol''' (bzw. "Dyopol", wie viele Autoren schreiben) und -Oligopol vor allem das Cournot-Duopol im Falle [[vollständige Information|unvollständiger Information]] behandelt werden. == Einleitung == Das '''Duopol nach Cournot''' (vgl. [[Cournot]] für biographische Informationen) beschreibt einen Markt mit einem homogenen Produkt und zwei Anbietern, bei dem der Wettbewerb über die Angebotsmengen ausgetragen wird, und bei dem die Entscheidungen für die Angebotsmengen simultan getroffen werden. Im Gegensatz dazu werden beim Duopol nach Stackelberg die Entscheidungen nacheinander getroffen. Beim Duopol nach Bertrand wird der Wettbewerb über die Preise ausgetragen. == Cournot Duopol bei vollständiger Information == Die Firma k produziert : <math>s_k \in [0,R]</math> Einheiten des Produktes (mit einer großen Konstanten R > 0), und hat die Kosten : <math>c_k(s_k) = c_ks_k</math> mit positiven Konstanten c_k ("Grenzkosten") für k = 1,2. Es wird davon ausgegangen, dass der Preis p (als die "inverse Nachfragefunktion") in folgender Weise linear von dem Gesamtangebot abhängt: : <math>p(s_1,s_2) = P - s_1 - s_2</math> mit einer Konstanten P ("Höchstpreis), und das sich daraus die Nutzenfunktionen : <math>u_k(s_1,s_2) = (P - s_1 - s_2)s_k- c_ks_k</math> für k = 1,2 ergeben. Es handelt sich insgesamt um ein Spiel in [[Normalform]] mit zwei Spielern und mit ''unendlichen'' [[Strategiemenge|Strategiemengen]] S_k = [0,R]. Ein [[Nash-Gleichgewicht]] ist ein Strategienpaar s* aus [0,R]x[0,R], so dass s*₁ die Funktion : <math>s_1 \mapsto (P - s_1 - s^*_2)s_1- c_1s_1</math> maximiert und s*₂ die Funktion : <math>s_2 \mapsto (P - {s^*_1} - s_2)s_2- c_2s_2</math> maximiert. Partielle Ableitung der ersten Funktion nach s₁ ergibt die Bedingung : <math>(P - s_1 - s^*_2) -s_1 - c_1 = 0</math> also : <math>s^*_1 = {1 \over 2}(P - s^*_2 - c_1)</math> und analog : <math>s^*_2 = {1 \over 2}(P - s^*_1 - c_2)</math>. Das eindeutig bestimmte Nash-Gleichgewicht ist daher : <math>s^* = {1 \over 3}(P + c_2 - 2c_1,P +c_1 - 2c_2),</math> denn es handelt sich bei diesen stationären Punkten tatsächlich um Maxima, weil die zweiten (partiellen) Ableitungen negativ (nämlich - 2) sind.<br> Der Preis ist : <math>p(s^*_1,s^*_2) = {1 \over 3}(P + c_2 + c_1),</math> und die Auszahlungen sind : <math>u_1(s^*_1,s^*_2) = {1 \over 9}(P + c_2 - 2c_1)^2</math> : <math>u_1(s^*_1,s^*_2) = {1 \over 9}(P + c_1 - 2c_2)^2.</math> Im Falle gleicher Grenzkosten c erhalten wir ein [[symmetrisches Spiel|symmetrisches Nash-Gleichgewicht]] : <math>s^* = {1 \over 3}(P - c,P - c)</math> und die Auszahlung : <math>u_k(s^*) = {1 \over 9}(P - c)^2.</math> == Cournot Oligopol == Für jede der n Firmen k = 1,2, ... n hat man analog die Nutzenfunktion : <math>u_k(s_1,s_2, ... ,s_n) = (P - s_1 - s_2 - ... - s_n)s_k- c_ks_k</math> und daher für einen stationären Punkt die Bedingungen : <math>(P - s_k - \sum_{l\neq k}s^*_l) -s_k - c_k = 0</math> Im Falle identischer Grenzkosten c ergibt sich das Nash-Gleichgewicht : <math>s^*_k = {P-c \over{n+1}}</math> für alle k = 1,2, ... ,n. == Cournot-Nash-Gleichgewicht im Falle des Cournot-Duopols == Ein [[Oligopole:Cournot-Nash-Gleichgewicht|Cournot-Nash-Gleichgewicht]] (auch '''Cournot-Gleichgewicht''') ist ein Gleichgewichtskonzept für Spiele mit stetigem Strategieraum bei unvollständiger Information. Als zusätzliche Bedingung für dieses Gleichgewicht ist von Nöten, dass man einen Markt mit mehreren Anbietern betrachtet, die sich ihrer wechselseitigen Beziehung bewusst sind (siehe '''Oligopol'''). Das '''Cournot-Nash-Gleichgewicht''' ist dadurch charakterisiert, dass sich die Reaktionsfunktionen der beiden Spieler "schneiden". D.h.: Ein Gleichgewicht besteht dann, wenn die Abbildung <math>r(x)</math> (als Vektor der Reaktionsfunktionen <math>r_1(x_2),r_2(x_1))</math> einen Fixpunkt <math>x*=r(x*)</math> hat. Diese Idee lässt sich gut an einem Beispiel für den Fall eines Duopols erklären. '''Beispiel:''' Zwei Farmer <math>i=1,2</math> (Duopol) ernten auf ihrem Feld das gleiche, homogene Gut <math>x</math>. Die Arbeitskosten betragen <math>K_i=x_i^2</math>. Gesamternte ist beschränkt, also <math>x_{i}\leq x_{i}^{max}</math>. Der Marktpreis richtet sich nach Angebot und Nachfrage. Die Gesamtnachfrage beträgt <math>x=60-0,5p</math> '''Frage:''' Wieviel sollten die jeweiligen Farmer anbieten, ohne die Menge des Konkurrenten zu kennen? Der Gewinn <math>G_i(x_i,x_-i)=p(x_i+x_-i)*x_i-K(x_i)</math> soll also maximiert werden. Die Angebotsmenge ist des anderen Farmers ist nicht bekannt <math>\Rightarrow</math> Es müssen Annahmen über das Verhalten des Anderen getroffen werden. Also wird die Angebotsmenge des Konkurrenten <math>x_{-i}</math> als gegeben angenommen. <math>\Rightarrow</math> <math>G_i(x_i,x_-i)</math> wird maximiert mit <math>\frac{\partial G_{i}(x_{i},x_{-i})}{\partial x_{i}}=0</math> Dies wird als '''Cournot-Verhalten''' bezeichnet. Das '''Cournot-Gleichgewicht''' ist nun ein Produktionsvektor <math>x*=((x_1)*,(x_2)*)</math>, sodass <math>x_{1}*=r_1(x_{2}*)</math> und <math>x_{2}*=r_2(x_{1}*)</math>. Berechnung ergibt: <math>G_i=[120-2(x_i+x_-i)]x_i-x_i^2</math> mit der Bedingung <math>\frac{\partial G_{i}(x_{i},x_{-i})}{\partial x_{i}}=120-6x_i-2x_{-i}=0</math> Also ist die Reaktionsfunktion: <math>x_{1}=0</math> für <math>x_{2}\geq60</math> und <math>x_{1}=20-\frac{1}{3}x_{2}</math> für <math>x_{2}\leq60</math> und andersherum <math>x_{2}=0</math> für <math>x_{1}\geq60</math> und <math>x_{2}=20-\frac{1}{3}x_{1}</math> für <math>x_{1}\leq60</math> Der Schnittpunkt liegt bei <math>x_1*=x_2*=15</math> mit <math>p*=60</math> <br> == Cournot Duopol ohne vollständige Information == Bisher wurde unterstellt, dass die Firmen '''[[vollständige Information]]''' besitzen, und sich daher die Strategien aller Beteiligten ausrechnen lassen. Diese Annahme ist aber oft nicht realistisch, insbesondere gibt es über die jeweiligen Produktionskosten in der Regel nur unvollständige Kenntnisse. Es wird jetzt angenommen, dass Firma k (k =1,2) ihre eigenen Grenzkosten kennt, aber nicht die des wirtschaftlichen Konkurrenten. Der ''Typ'' der Firma k wird parametrisiert durch : <math>t_k = P - c_k .</math> Die typabhängigene Nutzenfunktionen sind jetzt für k = 1,2 : <math>u_k(s_1,s_2,t_1,t_2) = (P - c_k - s_1 - s_2)s_k = (t_k - s_1 - s_2)s_k = u_k(s_1,s_2,t_k) .</math> Für jeden der zwei Firmen wollen wir uns auf je 2 Typen konzentrieren, zum einen auf einen Typ mit niedrigen Grenzkosten (N) und zum anderen auf einen Typ mit hohen Grenzkosten (H), also : <math>H_k := P - c^H_k, N_k := P - c^N_k, \; c^H_k > c^N_k .</math> Zur Bestimmung eines [[Bayes-Gleichgewicht|Bayes-Gleichgewichts]]: <br> Die Einschätzung von 1, dass 2 vom Typ H_2 ist, sei p. Bei Vorgabe von : <math>{s^*_2}(H_2), {s^*_2}(N_2), A \in \{H_1,N_1\}</math> müssen jetzt die beiden Funktionen : <math>s_1 \mapsto pu_1(s_1,s^*_2(H_2),A) + (1-p)u_1(s_1,s^*_2(N_2),A) ,</math> also : <math>s_1 \mapsto p(A - s_1 - s^*_2(H_2))s_1 + (1-p)(A - s_1 - s^*_2(N_2))s_1 ,</math> maximiert werden. Das liefert die Bedingungen : <math>p(A - s_1 - s^*_2(H_2)) - p + (1-p)(A - s_1 - s^*_2(N_2)) -(1-p) = 0 </math> also : <math>2s_1 = A-ps^*_2(H_2)) - (1-p)s^*_2(N_2)) .</math> Analog schließen wir, wenn die Firma 2 den Typ der Firma 1 als H₁ mit der Wahrscheinlichkeit q einschätzt: Die Vorgabe : <math>{s^*_1}(H_1), {s^*_1}(N_1), A \in \{H_2,N_2\}</math> führt zu : <math>2s_2 = A-qs^*_1(H_1)) - (1-q)s^*_1(N_1)).</math> Insgesamt gilt es also das folgende lineare Gleichungssystem mit nichtverschwindender Determinante zu lösen: : <math>2s^*_1(H_1) + ps^*_2(H_2)) + (1-p)s^*_2(N_2) = H_1</math> : <math>2s^*_1(N_1) + ps^*_2(H_2)) + (1-p)s^*_2(N_2) = N_1</math> : <math>2s^*_2(H_2) + qs^*_1(H_1)) + (1-q)s^*_1(N_1) = H_2</math> : <math>2s^*_2(N_2) + qs^*_1(H_1)) + (1-q)s^*_1(N_1) = N_2</math>

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