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Als grundlegendes Modell für die Betrachtung von Kartellabsprachen verwenden wir das [[Oligopole:Übersicht|Oligopol]] nach [[Cournot]], mit der spieltheoretischen Modellierung wie [[Oligopole|hier]].

===Kartellabsprache von N Unternehmen===
Wir nehmen an, dass alle N am betrachteten Oligopol beteiligten Unternehmen einen bindenden Vertrag über ihre Angebotsmenge unterzeichnen, also alle N Unternehmen zusammen bilden ein Kartell. Unabhängig von der Gewinnverteilung innerhalb des Kartells werden alle Unternehmen das Ziel verfolgen, den Gesamtgewinn des Kartells zu maximieren, d.h. die Funktion
<center><math>u(q)= (P-\sum^{N}_{j=1} q_j) \cdot \sum^{N}_{j=1} q_j \ -C \cdot \sum^{N}_{j=1} q_j
</math></center>
Vereinfachend kann man also die am Kartell beteiligten Unternehmen als ein einziges Unternehmen mit der Angebotsmenge q und den Kosten Cq betrachten, bei dem hinterher sowohl die Kosten als auch der Verdienst gleichmäßig unter den teilnehmenden Unternehmen aufgeteilt werden. Wir maximieren nun also die Funktion
<center><math>u(q)=(P-q)q -Cq
</math></center> 
durch das Bilden der ersten Ableitung <center><math>\frac{\partial u}{\partial q}= P-2q-C</math></center> 
und erhalten den Maximalwert bei <center><math>q=\frac{1}{2}(P-C).</math></center><br> 
Jedes der N Unternehmen muss demnach <center><math>\frac{q}{N}= \frac{1}{2N}(P-C)</math></center> Produkteinheiten herstellen und auf den Markt bringen. Dies ist für N > 1 eine geringere Menge als im Nash- Gleichgewicht ohne Kartellabsprachen (siehe [[Oligopole|hier]]).
Jedes Unternehmen im Kartell macht also einen Gewinn von <center><math>
u_i (q)=(P-q)\frac{1}{2N}(P-C)-\frac{1}{2N}(P-C)\cdot C=\frac{1}{4N}(P-C)^2</math></center> der (für N>1) größer ist als im Nash- Gleichgewicht ohne Kartellabsprachen (siehe [[Oligopole|hier]]).


====Fazit====
Schaffen es die Unternehmen, sich zu einem Kartell zusammenzuschließen, und sind die Unternehmen nahezu gleichwertig, d.h. alle haben die gleichen Produktionskosten und Voraussetzungen, können also Kosten und Gewinn im Kartell durch N teilen, so können sie mit weniger Produkteinheiten mehr Gewinn erzielen als im Nash-Gleichgewicht ohne Kartellabsprachen. Für die Unternehmen ist es folglich sinnvoll, dem 'freien Wettbewerb' aus dem Weg zu gehen und Absprachen zu treffen.



===Kartellabsprachen von weniger als N Unternehmen===
Nun betrachten wir Kartellabsprachen mit mindestens zwei, aber weniger als N Unternehmen. Das Oligopol besteht nun also aus einem Kartell aus K Unternehmen, sowie N-K einzelnen, nicht abgesprochenen Unternehmen. Da wir davon ausgehen können, dass das Kartell eine größere Wirtschaftskraft hat als die einzelnen Unternehmen, liegt die Annahme nahe, dass das Kartell ein Stackelberg- Führer ist, d.h. das Kartell 'zieht' zuerst, und die einzelnen Unternehmen reagieren auf den Zug. Damit weichen wir zwar von dem reinen Cournot- Modell ab, passen das Spiel aber wohl besser an die Realität an. 
Das Kartell beginnt das Spiel mit einer Angebotsmenge q<sub>k</sub>, und jeder Gegenspieler  i wird versuchen, seine jeweilige Auszahlung zu maximieren, d.h. die Funktion <center><math> u_i= (P-q_k -\sum^{N-K}_{j=1} q_j)q_i - C\cdot q_i </math></center>
zu maximieren. Wie vorher berechnet man über Nullsetzen der ersten Ableitung der Nutzenfunktion, dass das Maximum bei
 <center><math>
q_i=\frac{1}{2} (P-C-q_k -\sum^{N-K}_{j \neq i,\ j=1} q_j)</math></center>
liegt. Die Gegenspieler werden in diesem Fall alle die gleiche Strategie wählen, und das (teilspielperfekte) Nash- Gleichgewicht besteht in <center><math>
q_{i}^*= \frac{1}{N-K+1}(P-C-q_k)</math></center>. Das Kartell wird sich seinerseits vorher schon denken, dass seine Gegenspieler diese Strategie wählen werden, und seine Angebotsmenge so wählen dass sich seine Nutzenfunktion
<center><math>
u(q)=u(q_1,\ldots,q_{N-K},q_k)
=(P-q_k-\sum^{N-K}_{j=1}q_j)q_k-Cq_k
=(P-q_k-\frac{N-K}{N-K+1}(P-C-q_k))q_k-Cq_k
</math></center> maximiert. Also berechnen wir wieder die erste Ableitung
<center><math>
\frac{\partial u}{\partial q_k} = \frac{1}{N-K+1}(P-C-2q_k)</math></center>
und erhalten durch Nullsetzen:<center><math>
q_k^*=\frac{1}{2}(P-C)</math></center>
Ein Spieler des Kartells bietet also die Menge <center><math>\frac{q_k^*}{K}=\frac{1}{2K}(P-C)</math></center> an und macht damit einen Gewinn von <center><math>\frac{1}{2(N-K+1)}(P-C)</math></center>, wenn sich die Gegenspieler an ihre Nash-Gleichgewichtsstrategie halten. Die Gegenspieler erhalten im Nash- Gleichgewicht die Auszahlung <center><math>(\frac{1}{2(N-K+1)}(P-C))^2</math></center>, also mehr als die Spieler, die sich im Kartell abgesprochen haben und als erstes gezogen sind.

====Fazit====
Die scheinbaren Vorteile des Kartells erweisen sich in diesem Modell als Nachteile. Weder die Bündelung der K Unternehmen in ein größeres und stärkeres noch das Privileg des ersten Zugs machen sich in der Gewinnfunktion am Ende positiv bemerkbar. Dies erschwert die Kartellbildung von allen N Unternehmen, die wir anfangs betrachtet haben, da sich jedes Ausbrechen aus dem Kartell zumindest kurzfristig lohnt. Betrachtet man das Spiel dagegen iterativ oder führt noch Bestrafungen des Abweichens ein, könnte sich der Zusammenschluß zu einem Kartell wieder lohnen.