Perfektes Gleichgewicht

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Das perfekte Gleichgewicht ist ein Konzept zur [[Verfeinerungen des Nashgleichgewichts|Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts]].
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Das  perfekte Gleichgewicht berücksichtigt, dass Spieler bei ihrer Strategiewahl mit einer bestimmten, kleinen Wahrscheinlichkeit Fehler begehen, das heißt, jeder Spieler spielt jede Strategie mit einer positiven, wenn auch kleinen Wahrscheinlichkeit. Perfekte Gleichgewichte sollen auch unter einer geringfügigen Änderung des Spiels stabil bleiben.
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Sei <math> \epsilon </math> > 0, sei <math> \hat \Gamma = (A, \hat S, \hat U) </math> ein Spiel mit einer ausgezeichneten Strategiekombination <math> \hat s \in \hat S </math>. Dann ist <math> \hat s </math> ein '''<math> \epsilon </math>-perfektes Gleichgewicht''' von <math> \hat \Gamma </math>, wenn <math> \hat s </math> vollkommen [[gemischte Strategie|gemischt]] ist und für alle Spieler i = 1, ... , m und alle reinen Strategien j = 1, ... , <math> n_i </math> gilt:
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Version vom 11. Januar 2009, 21:09 Uhr

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Das perfekte Nash-Gleichgewicht, oft auch als trembling-hand-perfektes Gleichgewicht bezeichnet, ist ein von Selten entwickeltes Konzept zur Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts. Die Menge der perfekten Gleichgewichte bildet eine Teilmenge der sequentiellen Gleichgewichte und damit auch eine Teilmenge der teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte.


Inhaltsverzeichnis

Motivation:

Das perfekte Gleichgewicht berücksichtigt, dass Spieler bei ihrer Strategiewahl mit einer bestimmten, kleinen Wahrscheinlichkeit Fehler begehen, das heißt, jeder Spieler spielt jede Strategie mit einer positiven, wenn auch kleinen Wahrscheinlichkeit. Perfekte Gleichgewichte sollen auch unter einer geringfügigen Änderung des Spiels stabil bleiben.


Definitionen und Sätze

Definition 1: Perfektes Gleichgewicht


Sei ε > 0, sei  \hat \Gamma = (A, \hat S, \hat U) ein Spiel mit einer ausgezeichneten Strategiekombination  \hat s \in \hat S . Dann ist  \hat s ein ε-perfektes Gleichgewicht von  \hat \Gamma , wenn  \hat s vollkommen gemischt ist und für alle Spieler i = 1, ... , m und alle reinen Strategien j = 1, ... , ni gilt: \{u_i (s^j_i, \hat s_{-i}) < u_i (\hat s_i, \hat s_{-i}) \} \Rightarrow \hat s^j_i \leq \epsilon


Definition: Gestörtes Spiel


Ein Spiel  \hat \Gamma_\epsilon = (A, \hat S(\epsilon), \hat U) heißt das dem Spiel  \hat \Gamma = (A, \hat S, \hat U) zugeordnete ε-gestörte Spiel, wenn gilt:  \hat S_i(\epsilon_i) = \{\hat s_i| \hat s^j_i \geq \epsilon^j_i > 0, \sum_{j=1}^{n^i} \hat s^j_i = 1 \} und  \hat S(\epsilon) = \prod_{i=1}^m \hat S_i(\epsilon_i) .

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