Präferenzrelation

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Es wird in diesem Artikel den Begriff der Präferenzrelation behandelt. Eine Präferenzrelation ist eine Rangierung von Alternativen, so dass die bevorzugte Alternative ausgewählt wird.


Definition Präferenz

Präferenz ist eine Aussage eines Spielers, welche von zwei Alternativen a und b er bevorzugt.

Bemerkung
Unter Aussage ist zu verstehen, dass der Spieler eine Beziehung zwischen den beiden Alternativen aufbauen kann. Das wäre z.B. a besser als b, a oder b ist wurst oder b lieber als a. Kann ein Spieler zu 2 Alternativen a und b keine Aussage geben, nennt man den Spieler bezüglich a und b Präferenzlos.

Präferenzlose Spieler können als Spieler ohne bekannte Verteilung oder mit zufälliger Verteilung zwischen den vorliegenden Alternativen modelliert werden. Bei modellieren von Spielen, wird eine Vermeidung von präferenzlose Spielern zu bestreben, denn ihre Züge sind nicht berechenbar, insbesondere kann keine Erwartungswerte gebildet werden.


Definition Präferenzrelation und Indifferent

Eine Präferenzrelation > widerspiegelt den Präferenzen eines Spielers, z.B. heißt a > b, dass der Spieler die Alternative a bevorzugt gegenüber die Alternative b. Die Alternativen a und b heißt für den Spieler Indifferent, falls er a = b setzt bezüglich der Präferenzrelation.

Beispiel 1:
Gegeben sei folgender Spielbaum: 1 o / \ a / \ b / \ 5 4 Der Spieler 1 will sein Nutzen maximieren, deswegen ist hier a > b, da 5 > 4.

Der Nutzenfunktion der Präferenzrelation, setzt sich unter anderem von den folgenden Eigenschaften eines Spielers zusammen:

  • Nutzenbewertung
  • Risikoeinstellung
  • Schätzung von der gegnerischen Züge
usw.

Bemerkung
Zur Vereinfachung wird die Präferenzrelation als transitiv angenommen. Dies muss nicht immer der Fall sein.


Abstraktere Definition von Präferenzrelation und Indifferent

Sei M eine Menge mit mindestens zwei Elementen, und sei u eine geeignete Nutzenfunktion von M -> N, mit N einer geeigneten, geordneten Menge (z.B. \mathcal{N} oder \mathcal{R}.). Eine Präferenzrelation p ist eine Abbildung von M x M -> {0,1} mit p(a,b) = 0, falls u(a) < u(b) oder falls u(a) = u(b) und p(a,b) = 1, falls u(a) > u(b). a und b heißen Indifferent, falls p(a,b) = 0 und p(b,a) = 0.

Beispiel 2:
Sei M = {1,2,3,4}, u: M -> \mathcal{N}, u(a) -> a. Dann ist p: M -> {0,1} eine Präferenzrelation. Denn p(1,2) = 0 und p(2,1) = 1.

Beispiel 3:
Gegeben sei folgender Spielbaum: 1 o a / \ b / \ 2 o o / \ / \ c / d| e| \ f / | | \ (4,1)(2,2)(1,4) (6,5) Spieler 1 ist am Zug und ist ein risikoscheuer Typ. Spieler 2 ist ein rationaler Spieler. Dann ist u1: M1={a,b} -> \mathcal{N}, u1(a) = min((a,c),(a,d)) und u1(b) = min((b,e),(b,f)). Es ergibt sich, dass p1(a,b) = 1. Spieler 2 wählt gemäß seiner Präferenzrelation dann d als bester Antwort.


Definition vollständige Präferenzrelation

Eine Präferenzrelation > heißt vollständig über die Menge M, falls für alle m, m’ \in M, eine dieser drei Alternativen zutrifft:

  • m > m’
  • m = m’
  • m’ > m

Beispiel 4: In den Beispielen 1-3 ist die Präferenzrelationen vollständig.

Beispiel 5: Sei M={a,b,c,d,e} und sei p(a,b) = 1, p(b,c) = 1, p(e,c) = 1 und p(d,b) = 1. Dann ist p über M keine vollständige Präferenzrelation, denn zum Beispiel ist p(a,d) nicht definiert.

Bemerkung
Statt p wird in der Spieltheorie mit >,=,< gearbeitet.

Anwendungen

Es gibt viele Entscheidungsspiele, in denen mehrere Entscheidungstägern zwischen unterschiedliche Alternativen auswählen sollen, die auf die Präferenzen von den Spielern aufbauen. Dazu gehören:

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