Projekt: Koalitionsspiel
Das kooperative Spiel beschreibt die Modellierung eines Spiels , in dem sich jede mögliche nicht-leere Teilmenge der Spielermenge zu einer Koalition zusammenschließen kann.
Das Ziel der Koalitionsbildung ist die Gewinnerhöhung der Koalitionsspieler.
Um die Gewinne der Koalition darzustellen, bedient man sich einer Abbildung:
Die charakteristische Funktion V eines Spiels weist jeder Koalition einen Gewinn zu, den die
Koalitionäre unter sich aufteilen können. (Beispiele: APEX-Spiel, Drei-Personen-Spiel)
Nun gibt es meist mehrere rentable Möglichkeiten zu koalieren, was zu der Frage führt:
Ist die Summe der Einzelgewinne aller Spieler größer gleich dem Gewinn der Gesamtkoalition (Koalition bestehend aus allen Spielern), so spricht man von einem unwesentlichen Spiel. Hier ist ein Zusammenschluss mehrerer Spieler nicht rentabel, somit spielt jeder alleine und erzielt seinen Einzelgewinn.
Im Folgenden werden daher nur verschiedene Lösungskonzepte für wesentliche Spiele untersucht. Die entwickelten Mengen- und Wertansätze vergleichen im n-Personenspiel die möglichen Auszahlungsvektoren im Rn.
Mengenansätze:
Die Imputationsmenge stellt ein Lösungkonzept dar, deren (Lösungs-)Auszahlungsvektoren folgenden Voraussetzungen genügen:
- Tritt ein Spieler in eine Koalition ein, so bekommt er mindestens seinen Einzelgewinn ausbezahlt. (Individuelle Rationalität)
- Desweiteren ist ein Auszahlungsvektor nicht in der Imputationsmenge enthalten, sobald es einen anderen Auszahlungsvektor gibt, der jedem Spieler einen höheren Gewinn zuordnet. (Effizienzerfordernis)
Das Lösungskonzept Kern fügt diesen Aspekten noch einen weiteren hinzu:
- Ist u ein Lösungsauszahlungsvektor, so gibt es keine Koalition C, die allen ihren Koalitionären durch einen anderen Auszahlungsvektor û ein besseres Ergebnis zusichern kann. (Gruppenrationalität)
Einen weiteren Mengenansatz stellt die von-Neumann-Morgenstern-Lösung (ausführliche Erläuterungen mit Beispiel) dar.
Wertansätze:
Die Lösungsmenge ist stets einelementig, d.h. durch ein solches Konzept wird der Lösungsauszahlungsvektor eindeutig bestimmt.
Ein Beispiel hierfür ist der Shapley-Wert. Dieser bestimmt das Machtverhältnis der Spieler und teilt dann den Maximalgewinn (siehe Anmerkung unten), also den Gewinn der Gesamtkoalition (Koalition aller Spieler), im Machtverhältnis auf.
Anmerkung: Die charakteristische Funktion ist superadditiv. Das bedeutet, dass wenn sich zwei disjunkte Koalitionen C und D zusammenschließen zur Koalition E, ist der Gewinn der Koalition E größer gleich der Summe der Gewinne der Koalition C und D. Somit ist der Gewinn der Gesamtkoalition stets der Maximalgewinn eines Spiels.
Um über die einzelnen Begriffe des Koalitionsspiels mehr zu erfahren, verweisen wir nun auf den Link Schlüsselwörter.
