Replikatorgleichung

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Wir legen ein symmetrisches Spiel in Normalform mit 2 Spielern und n Strategien für jeden Spieler zugrunde, dessen Auszahlungsfunktionen durch eine nxn-Matrix A reeller Zahlen gegeben ist, - und interpretieren das Spiel als ein evolutorisches Spiel:

Wir betrachten den zeitlichen Verlauf der Populationsanteile ( $t \in \mathbb{R}$ ) von n Arten (d.h. reinen Strategien) $x_1(t),\dots,x_n(t)$ . Diese Anteile $x_1(t),\dots,x_n(t)$ können auch als gemischte Strategien verstanden werden, und sie summieren sich zu 1 auf. Wir fassen sie zu einem Vektor

$x (t) = (x j (t))$

zusammen.

Die gesamte Auszahlung der i-ten Strategie - die absolute Fitness, berechnet sich mit $Ax_i = {e_i}^TAx$ . Die relative Fitness einer Strategie ergibt sich dann als $Ax_i \over x^T A x$ .

Wir wollen nun ein Modell für den zeitlichen Verlauf der Populationsanteile angeben: Der Populationsanteil der i-ten Art ändert sich zum Zeitpunkt t proportional zu der relativen Fitness und zu dem aktuellen Populationsanteil. Der Proportionalitätsfaktor wird in dem folgenden Ansatz gleich 1 gesetzt.

$x_i(t+\Delta t) = x_i(t) {Ax_i \over x^T A x} \Delta t$ für $x^T A x \neq 0$ , also

$x_i(t+ \Delta t) - x_i(t) = x_i(t) {Ax_i - x^T A x \over x^T A x} \Delta t$ .

Die daraus resultierende Differentialgleichung

$(1)\; \dot{x_i}(t) = x_i(t)({{Ax_i - x^T A x }\over x^T A x})$

hat (jedenfalls lokal) dieselben Trajektorien wie die vereinfachte Differentialgleichung

$(2)\; \dot{x_i}(t) = x_i(t)({Ax_i - x^T A x })$ .

Denn jede Lösung x(t) der oberen Differentialgleichung (1) liefert mit der geeigneten Zeittransformation

$t(s) = \int_{s_0}^sx(t)^T A x(t)dt$

durch y(s) := x(t(s)) eine Lösung der unteren Differentialgleichung (2).

Diese letzte Gleichung

$\dot{x_i}(1)(t) = x_i(t)({(e_i - x)^T A x })$

wird die Replikatorgleichung genannt.
Die Replikatorgleichung ist ein System von n (oder n-1 unabhängigen) gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung der Form $\dot{x} = F(x)$ .

Solche Systeme werden auch dynamische Systeme oder autonome Systeme genannt. Man interessiert sich für den globalen Verlauf von Lösungen von dynamischen Systemen. Von daher ist es zunächst wichtig, festzustellen (wie im Artikel Dynamisches System erläutert), dass die Replikatorgleichung vollständig ist in dem Sinne, dass das Anfangswertproblem zu jedem Anfangswert im Standardsimplex Δ eine eindeutig bestimmte Lösung besitzt, die auf ganz R definiert ist.

Aufgrund dieses elementaren Resultats ist es möglich, die Stabilität von dynamischen Gleichgewichten (insbesondere von Nash-Gleichgewichten) einzuführen und zu studieren. Für die Spieltheorie sind die asymptotisch stabilen Gleichgewichte der Replikatorgleichung von besonderem Interesse. Evolutionär stabile Strategien sind immer auch asymptotisch stabil, während die Umkehrung nur für den Fall von 2 Strategien richtig ist.

Für eine numerische Lösung siehe Numerik.

Im Artikel Replikatorgleichung:Hyperzyklusgleichung wird der Hyperzyklus genau untersucht. Die Hyperzyklusgleichung hat die Gestalt der Replikatorgleichung mit einer bestimmten Auszahlungsmatrix.

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