Revelationstheorem

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Inhaltsverzeichnis

Einleitung

Es wird in diesem Artikel den Begriffen Revelationsmechanismus und Mechanismus definiert und danach das Revelationstheorem aufgestellt. Das Revelationstheorem sagt aus, dass jedes Gleichgewicht m* zu einem vorgegebenen beliebigen Mechanismus µ als eine Lösung von µ betrachtet werden kann. Andererseits kann nur m = v für alle Typenkonstellationen v Lösung des Revelationstheorem sein. vi ist der Zahlungsbereitschaft der Spieler i. Zur Vereinfachug wird hier angenommen, dass vi \in [0,1]. v bezeichne der Vektor der Zahlungsbereitschaften der Spieler.

Mechanismus

Mechanismus treten in Verbindung mit Spielen auf, in denen es um öffentliche Güter handelt. Diese Spiele enthalten auch keine vollständige Information, denn die Nutzenfunktionen (oder deren Auszahlungen) der einzelne Spieler sind für den Gegnern nicht bekannt.

Definition Mechanismus

Eine Mechanismus zu einem Spiel γ ist eine Änderung der Spielregeln so, dass ein gewünschtes Ereignis mit Hilfe diese Änderungen eintreten kann.

Ein Mechanismus ist also eine Abänderung der Spielregeln, so dass aus einer nicht-kooperativen Ausgangslage, eine gewünschte kooperative Lösung Zustande kommt.

Bemerkung
Sei m = (m1,...,mN) der Strategievektor, q der Wahrscheinlichkeit, dass das öffentliche Gut angeboten wird, q(*) ein Funktion, die jedem Strategievektor m die Wahrscheinlichkeit q(m) der Bereitstellung des Gutes zuordnet und pi(*) ein Funktion die jedem Strategievektor s den Kostenbeitrag zuordnet. S1,...,SN seien fixierte Strategiemengen. Dann kann man ein Mechanismus folgendermaßen Beschreiben:
µ = (S1,...,SN; q(*); p1(*),...,pN(*)).

Ein direkter Mechanismus ist definiert als ein Spiel, in dem die von anderen als möglich erwarteten Auszahlungsfunktion der jeweiligen Spieler sind. Des Weiteren wird die Auszahlungsfunktion durch die wahre Auszahlungsfunktion determiniert. Dieser Auszahlungsfunktion ist jeder Spieler selbst bekannt.

Definition

Zwei Mechanismen heißen Äquivalent, falls sie die gleichen Bereitstellungswahrscheinlichkeiten sowie die gleichen individuellen Kostenerwartungen für alle Typenkonstellationen v = (v1,...,vN) \in [0,1] x ... x [0,1] implizieren.

Groves-Mechanismus

Ein bekannter Typ von Mechanismen ist der so genannte Groves-Mechanismus. In dem Spiel geht es um die Realisierung eines gewünschten öffentliches Gut. vi bezeichne die Zahlungsbereitschaft von Spieler i, während mi die von Spieler i signalisierte Zahlungsbereitschaft bezeichne. C ist die Gesamtkosten des Guts (inklusive Herstellung und Aufbau). N ist die Anzahl der Spieler, die mitspielen.

Definition Groves Mechanismus

Es gilt folgenden Regeln:
1° Für \sum_{i\in \mathbb{N}} m_i \ge C, wird das Projekt realisiert. Für Spieler i kommt dann die Seitenzahlung yk := \sum_{j=1,j\ne i}^N (m_j -  {C \over N})
\sum_{i\in \mathbb{N}} m_i < C, dann keine Realisierung und auch keine Seitenzahlung.
3° Die Seitenzahlung wird von außen Bezahlt.
4° Absprachen sind nicht Zulässig.
5° Für alle i gilt, dass die Signalisierung mi unabhängig von den mj für i \ne j ist.

Beispiel: Ausrechnung von Seitenzahlung
Gegeben ist ein Spiel in dem ein öffentliches Gut angeschafften werden soll. Sei C = 10.000 die Gesamtkosten und N = 100 die Anzahl der Spieler. Dann ist {C \over N} = 100. Angenommen Spieler k zeigt 200, d.h. mk = 200 und für alle anderen Spieler j ist mj = 100. Dann folgt, dass y1 = 0 und für i > 1 ist yi = 100. Dann ist die Seitenzahlung 9.900.


Clarke-Mechanismus

In dem Clarke-Mechanismus wird keine Seitenzahlung gewährleistet. Dieser wird durch ein Besteuerungsverfahren ersetzt. Die Besteuerung tritt genau dann ein, wenn die Mitteilung der Spieler das Gesamtergebnis verändert, d.h. wenn z.B. \sum_{j=1,j\ne i}^N m_j \ge C, dann auch \sum_{j=1,j\ne i}^N m_j + m_i \ge C tritt keine Besteuerung ein, jedoch falls \sum_{j=1,j\ne i}^N m_j + m_i < C.

Revelationsmechanismus

Definition Revelationsmechanismus

Sei µ = ([0,1],...,[0,1]; q(*) ;p1(*),...,pN(*)) ein direkter Mechanismus. Ist der Vektor m = (m1,...,mN) = v = (v1,...,vN) für fast alle v = (v1,...,vN) \in [0,1] x ... x [0,1] ein Gleichgewichtspunkt, so heißt µ ein Revelationsmechanismus.

Revelationstheorem

Für alle beliebigen Mechanismen µ = (S1,...,SN; q(*) ;p1(*),...,pN(*)) und für jedes s* = (s_1^*,...,s_N^*) von µ gibt es einen dazu äquivalenten Revelationsmechanismus.

Beweis

Man kann das Revelationstheorem konstruktiv beweisen, indem man für einen beliebigen Mechanismus μ = (S1,...,SN; q(*) ;p1(*),...,pN(*)) und für einen Gleichgewichtspunkt s* von μ einen äquivalenten Revelationsmechanismus \hat\mu([0,1],...,[0,1];\hat{q}(*);\hat{p}_{1}(*),...,\hat{p}_{n}(*)) bestimmt.
Wir definieren für alle \hat{s} =  (\hat{s}_{1},...,\hat{s}_{n}) \in [0,1]x...x[0,1]

(i) die durch den Revelationsmechanismus \hat\mu implizierte Bereitstellungswahrscheinlichkeit \hat{q}(s) durch
\hat{q}(s)= \int_{S_{1}x...xS_{n}} q(s^{*}ds_{1}^{*}(s_{1}, \hat{s}_{1})...ds_{n}^{*}(s_{n}, \hat{s}_{n})
wobei für i=1,...,n durch s^{*}_{i}(*,\hat{s}_{i}) die (gemischte) Strategie des Typs \hat{s}_{i} \in [0,1] bezeichnet wird, sowie
(ii) für i=1,...,n den Kostenbetrag
\hat{p}_{i}(s)  = \int_{S_{1}x...xS_{n}} p_{i}(s^{*})ds^{*}_{1}(s_{1},  \hat{s}_{1})...ds^{*}_{n}(s_{n}, \hat{s}_{n}),
den der Konsument i gemäß \hat\mu zu entrichten hat.

Die Schreibweise ds^{*}_{i}(s_{i},  \hat{s}_{i}), bzw. \frac{ ds^{*}_{i}(s_{i},  \hat{s}_{i})}{ds_{i}}ds_{i} besagt, dass bei der Integration über alle s_{i} \in S_{i} mit der durch die (gemischte) Strategie (siehe Gemischte Strategie) s^{*}_{i}(*,\hat{s}_{i}) des Typs \hat{s}_{i} \in [0,1] bestimmten Wahrscheinlichkeitsdichten \frac{ ds^{*}_{i}(s_{i},  \hat{s}_{i})}{ds_{i}} über Si gewichtet wird. Diese Definition von \hat{q}(*) und \hat{p}(*)_{1},...,\hat{p}(*)_{n} implizieren, dass μ und \hat\mu äquivalent sind. Es bleibt damit lediglich zu zeigen, dass durch s = v für alle Typenkonstellationen  v = (v_{1},...,v_{n}) \in [0,1]x ... x [0,1] ein Gleichgewichtspunkt von \hat\mu = ([0,1],...,[0,1];\hat{q};\hat{p}_{1}(*),...,\hat{p}_{n}(*)) gegeben ist.
Gemäß der Äquivalenz von μ und \hat\mu implizieren beide Mechanismen für alle Typenkonstellationen v und jeden Spieler dieselbe Auszahlungserwartung. Wir unterstellen, dass für einen Nachfrager i = 1,...,n und eine Nichtnullmenge von Typen v_{i} \in [0,1] die Strategie si = vi keine optimale Antwort auf die allgemeine Verhaltenserwartung s = v darstellt. Damit existiert für alle diese vi eine andere (gemischte) Strategie \hat{s}_{i}(*,v_{i}) mit
\int_{[0,1]x...x[0,1]}[v_{i}\hat{q}(v_{-i},\hat{s}_{i}(v_{i}))-\hat{p}_{i}(v_{-i},\hat{s}_{i}(v_{i}))] dv_{-i}d)\hat{s}_{i} (s_{i},v_{i}) >  \int_{[0,1]x...x[0,1]}[v_{i}\hat{q}(v)-\hat{p}_{i}(v)]dv_{-i}
Für den ursprünglichen Mechanismus μ muss daher eine (gemischte) Strategie si( * ,vi) existieren, die in Kombination mit s^{*}_{-i} dieselbe Auszahlungserwartung für μ wie (v_{-i},\hat{s}_{i}(*,v_{i})) für \hat\mu impliziert und daher eine bessere Antwort auf die Lösungsstrategien s^{*}_{-i} der anderen Spieler als die Lösungsstrategie s^{*}_{-i}(*,v_{i}) selbst darstellt. Analog zu der konstruktiven Definition von \hat\mu kann man die Strategie si( * ,vi) durch \hat{s}_{i} (*, v_{i}) konstruieren, indem für alle (messbaren) Teilmengen S^{'}_{i} \subset S_{i} die Wahrscheinlichkeit s_{i}(S^{'}_{i}, v_{i}) angibt, mit der gemäß der (gemischten) Strategie si( * ,vi) eine Strategie s_{i} \in S^{'}_{i} ausgewählt wird:
s_{i}(S^{'}_{i}, v_{i}) = \int_{[0,1]}s^{*}_{i}(S^{'}_{i}, s_{i})\frac{d\hat{s}_{i}(s_{i},v_{i})}{ds_{i}}ds_{i}.
Hierbei ist \frac{d\hat{s}_{i}(s_{i},v_{i})}{ds_{i}} die Wahrscheinlichkeitsdichte auf [0,1] gemäß der (gemischten) Strategie \hat{s}_{i}(*,v_{i}) und s^{*}_{i}( S^{'}_{i}, s_{i}) die Wahrscheinlichkeit, mit der der Typ s_{i} \in [0,1] eine Strategie aus S^{'}_{i} gemäß seiner Lösungsstrategie s^{*}_{i}(*,s_{i}) von μ verwendet. Entsprechend dieser Definition impliziert si( * ,vi) im Zusammenhang mit s^{*}_{-i} für jede betrachtete Menge S^{'}_{i} dieselbe Bereitstellungswahrscheinlichkeit und dieselben erwarteten Konstenbeträge wie \hat{s}_{i}(*,v_{i}) im Zusammenhang mit vi für den Revelationsmechanismus \hat\mu. Damit ist si( * ,vi) eine bessere Antwort auf s^{*}_{-i} als s^{*}_{i}(*,v_{i}), was der Gleichgewichtseigenschaft von s * für μ widerspricht. Damit ist für fast alle vi die Strategie vi beste Antwort auf vi beim Mechansimus \hat\mu, also die Menge aller v_{i} \in [0,1], auf die diese Aussage nicht zutrifft, hat das (Lebesgue)- Maß Null.
Siehe auch Stochastik:Grundbegriffe der Maßtheorie



Literatur:

Holler/Illing: Einführung in die Spieltheorie, 1991
Güth: Spieltheorie und ökonomische (Bei)Spiele, 1992

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