Sequentielles Gleichgewicht

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Das '''sequentielle Gleichgewicht''' ist eine [[Verfeinerungen des Nashgleichgewichts|Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts]] insbesondere für Spiele mit unvollkommener Information. Das von Kreps und Wilson 1982 entwickelte Konzept berücksichtigt mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitseinschätzungen Ereignisse, die außerhalb eines Nash-Gleichgewichtspfades liegen, und versucht, unplausible [[teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht|teilspielperfekte Gleichgewichte]] auszuschließen. Die Menge der sequentiellen Gleichgewichte bildet damit eine Teilmenge der  [[teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht|teilspielperfekten Gleichgewichte]].
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Das '''sequentielle Gleichgewicht''' ist eine [[Verfeinerungen des Nashgleichgewichts|Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts]] insbesondere für Spiele mit unvollkommener Information. Das von Kreps und Wilson 1982 entwickelte Konzept versucht dabei auch, unplausible [[teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht|teilspielperfekte Gleichgewichte]] auszuschließen. Die Menge der sequentiellen Gleichgewichte bildet damit eine Teilmenge der  [[teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht|teilspielperfekten Gleichgewichte]].
  
  
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Ähnlich wie beim [[teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht|teilspielperfekten Gleichgewicht]] soll also bei jedem erreichten Punkt der folgende Spielverlauf wieder ein sequentielles Gleichgewicht sein, selbst wenn der bisher erreichte Punkt nicht mehr im Nash-Gleichgewichtspfad liegt. Mit Hilfe ihrer Wahrscheinlichkeitseinschätzungen µ errechnen die Spieler dann bedingt auf den erreichten Entscheidungsknoten nach der [[Bayes'sche Regel|Bayes'schen Regel]] neue Wahrscheinlichkeiten und spielen (bis zum nächsten abweichenden Ereignis) wieder optimale Strategien. Bei einer weiteren Abweichungen wiederholt sich dieser Vorgang.
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Ähnlich wie beim [[teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht|teilspielperfekten Gleichgewicht]] soll also bei jedem erreichten Punkt der folgende Spielverlauf wieder ein sequentielles Gleichgewicht sein, selbst wenn der bisher erreichte Punkt nicht mehr im Nash-Gleichgewichtspfad liegt. In letzterem Fall errechnen die Spieler dann mit Hilfe ihrer Wahrscheinlichkeitseinschätzungen µ bedingt auf den erreichten Entscheidungsknoten nach der [[Bayes'sche Regel|Bayes'schen Regel]] neue Wahrscheinlichkeiten und spielen (bis zum nächsten abweichenden Ereignis) wieder optimale Strategien. Bei einer weiteren Abweichungen wiederholt sich dieser Vorgang.
  
 
Zu beachten ist, dass jedes [[Nash-Gleichgewicht]] bereits mit einer einzigen konsistenten Wahrscheinlichkeitseinschätzung zu einem sequentiellen Gleichgewicht wird; es ist nicht notwendig, dass alle möglichen konsistenten Wahrscheinlichkeitseinschätzungen berücksichtigt werden.
 
Zu beachten ist, dass jedes [[Nash-Gleichgewicht]] bereits mit einer einzigen konsistenten Wahrscheinlichkeitseinschätzung zu einem sequentiellen Gleichgewicht wird; es ist nicht notwendig, dass alle möglichen konsistenten Wahrscheinlichkeitseinschätzungen berücksichtigt werden.
  
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Sequentielle Gleichgewichte können ihrerseits aber ebenfalls unplausibel sein (vgl. das Beispiel "Variante des Markteintrittspiels"). Es wurden daher weitere [[Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts|Verfeinerungen]] auch des sequentiellen Gleichgewichts entwickelt. Beispielhaft seien hier nur die Konzepte des [[Trembling-hand-perfektes Gleichgewicht|trembling-hand-perfekten Gleichgewichts]] oder des [[Perfektes Gleichgewicht|perfekten Gleichgewichts]] genannt.
  
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=== Variante des Markteintrittspiels ===
 
=== Variante des Markteintrittspiels ===
  
In einer Version des [[Kaufhauskettenspiel (Chain store game)|Markteintrittspiels]] überlegt ein Konkurrent K eines Monopolisten M, in den Markt des Monopolisten einzutreten. Tritt K ein, so kann er zwischen zwei Alternativen <math> E_1 </math> und <math> E_2 </math> wählen (etwa zwischen zwei Produktionsmethoden). Tritt K ein, so kann M zwischen einer Duldung (D) oder einem aggressiven Verdrängungskampf (A) wählen, ohne jedoch zu wissen, ob K die Alternative 1 oder 2 gewählt hat. Die Auszahlungen betragen (mit N = Nichteintritt von K):
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In einer Version des [[Kaufhauskettenspiel (Chain store game)|Markteintrittspiels]] überlegt ein Konkurrent K eines Monopolisten M, in den Markt des Monopolisten einzutreten. Tritt K ein, so kann er zwischen zwei Alternativen <math> E_1 </math> und <math> E_2 </math> wählen (etwa zwischen zwei Produktionsmethoden). Tritt K ein, so kann M zwischen einer Duldung (D) oder einem aggressiven Verdrängungskampf (A) wählen, ohne jedoch zu wissen, ob K die Alternative 1 oder 2 gewählt hat. N sei Nichteintritt von K.
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Sei also G = (L, H, j, u) mit
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* der Spielermenge <math> L = \{ K, M\} </math>
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* der Historie <math> H = \{\emptyset, (N),(E_1),(E_2), (E_1,A), (E_1,D), (E_2,A), (E_2,D)\}</math>, wobei <math>E = \{\emptyset,(E_1), (E_2)\} </math>die Entscheidungsmenge ist und die Endknoten <math> Z:=H \setminus E = \{(N), (E_1,A), (E_1,D), (E_2,A), (E_2,D)\} </math>
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* der Spielerfunktion <math>j:E \longrightarrow L</math> mit <math>j(\emptyset)= K </math> und <math> j( (E_1) ) = j( (E_2) ) = M </math>
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* der Nutzenfunktion u mit den in Matrix 1 (bzw. 2) angegeben Auszahlungen
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und den Wahrscheinlichkeitseinschätzungen von M <math> \mu_1 </math>, dass K bei Markteintritt die Strategie <math> E_1 </math> und <math> \mu_2 </math> = (1 - <math> \mu_1 </math>), dass er <math> E_2 </math> gewählt hat.
  
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Dieses Spiel hat offensichtlich zwei [[Nash-Gleichgewicht]]e, (N,A) und (<math> E_1 </math>,D). Da M keine Information darüber hat, ob K <math> E_1 </math> oder <math> E_2 </math> gewählt hat, kann das Spiel nicht in eizelne Teilspiele zerlegt werden. Da somit das Gesamtspiel das einzige mögliche Teilspiel ist, sind diese beiden Gleichgewichte natürlich auch die beiden [[Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht|teilspielperfekte Gleichgewichte]], obwohl (N,A) wegen der rational nicht zu rechtfertigenden Entscheidung von M für A offenbar unplausibel ist. Ist K in den Markt eingetreten, so bildet M Wahrscheinlichkeitseinschätzungen <math> \mu_1 </math>, ob K die Alternative 1 oder 2 gewählt hat und kann damit seinen Erwartungsnutzen für beide Alternativen berechnen:  
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Dieses Spiel hat offensichtlich zwei [[Nash-Gleichgewicht]]e, (N,A) und (<math> E_1 </math>,D). Da M keine Information darüber hat, ob K <math> E_1 </math> oder <math> E_2 </math> gewählt hat, kann das Spiel nicht in eizelne Teilspiele zerlegt werden. Da somit das Gesamtspiel das einzige mögliche Teilspiel ist, sind diese beiden Gleichgewichte natürlich auch die beiden [[Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht|teilspielperfekte Gleichgewichte]], obwohl (N,A) wegen der rational nicht zu rechtfertigenden Entscheidung von M für A offenbar unplausibel ist. Ist K in den Markt eingetreten, so bildet M Wahrscheinlichkeitseinschätzungen <math> \mu_1 </math>, ob K die Alternative 1 gewählt hat und kann damit seinen Erwartungsnutzen für beide Alternativen berechnen:  
 
* wählt M die Strategie D, so beträgt sein Erwartungsnutzen <math> 30\mu_1 + 10(1 - \mu_1) = 20 \mu_1 + 10 </math>
 
* wählt M die Strategie D, so beträgt sein Erwartungsnutzen <math> 30\mu_1 + 10(1 - \mu_1) = 20 \mu_1 + 10 </math>
 
* wählt M die Strategie A, so beträgt sein Erwartungsnutzen <math> -10\mu_1 - 5(1 - \mu_1) = -5 \mu_1 - 5 </math>
 
* wählt M die Strategie A, so beträgt sein Erwartungsnutzen <math> -10\mu_1 - 5(1 - \mu_1) = -5 \mu_1 - 5 </math>
 
Da für jedes <math> \mu_1 > 0 </math> D offensichtlich besser ist als A, wird M immer D wählen. K antizipiert dies und tritt in den Markt ein, so dass (<math> E_1 </math>,D)  als einziges sequentielles Gleichgewicht bestehen bleibt.  
 
Da für jedes <math> \mu_1 > 0 </math> D offensichtlich besser ist als A, wird M immer D wählen. K antizipiert dies und tritt in den Markt ein, so dass (<math> E_1 </math>,D)  als einziges sequentielles Gleichgewicht bestehen bleibt.  
  
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Ändern wir die Auszahlung von (A,<math> E_2 </math>) wie in der zweiten Matrix auf (-5,40) ab, ändert sich die Situation für M grundlegend. Nun hängt seine optimale Strategie ganz wesentlich von der von K gewählten Alternative ab: Hat K 1 gewählt, so ist D die beste Antwort, hat K 2 gewählt, ist A die optimale Strategie. M wird nun A wählen, wenn der Erwartungsnutzen der Strategie A größer als der Erwartungsnutzen von D ist, also wenn gilt:
 
Ändern wir die Auszahlung von (A,<math> E_2 </math>) wie in der zweiten Matrix auf (-5,40) ab, ändert sich die Situation für M grundlegend. Nun hängt seine optimale Strategie ganz wesentlich von der von K gewählten Alternative ab: Hat K 1 gewählt, so ist D die beste Antwort, hat K 2 gewählt, ist A die optimale Strategie. M wird nun A wählen, wenn der Erwartungsnutzen der Strategie A größer als der Erwartungsnutzen von D ist, also wenn gilt:
<math> -10\mu_1 + 40(1 - \mu_1) = -50\mu_1 +40  > 30\mu_1 + 10(1 - \mu_1) = 20 \mu_1 + 10 </math>. Das heißt, schätzt M die Wahrscheinlichkeit <math> \mu_1 </math> < 5/7, so wird er sich für einen aggressiven Kampf (A) entscheiden, schätzt er jedoch <math> \mu_1 </math> als größer als 5/7, so wird er sich erneut für D entscheiden.  
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<math> -10\mu_1 + 40(1 - \mu_1) = -50\mu_1 +40  > 30\mu_1 + 10(1 - \mu_1) = 20 \mu_1 + 10 </math>. Das heißt, schätzt M die Wahrscheinlichkeit <math> \mu_1 </math> < 5/7, so wird er sich für einen aggressiven Kampf (A) entscheiden, schätzt er jedoch <math> \mu_1 </math> als größer als 5/7, so wird er sich erneut für D entscheiden, schätzt er <math> \mu_1 </math> als genau 5/7 ein, so ist er indifferent zwischen den beiden Möglichkeiten.
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Das sequentielle Gleichgewicht dieses Spiels ist also für <math> \mu_1 </math> < 5/7 die Strategie (N,A) und für <math> \mu_1 </math> > 5/7 die Strategie (<math> E_1, D </math>). (Für die Situation <math> \mu_1 </math> = 5/7 muss sich K eine Einschätzung darüber bilden, mit welcher Wahrscheinlichkeit P(D) (bzw. p(A) = 1 - p(D)) M die Option D (bzw. A) spielt und dies mit seinem Erwartungsnutzen abgleichen. Das sequentielle Gleichgewicht ergibt sich dann analog aus der als rational erkannten Strategie von K.)
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An diesem Beispiel ist auch zu beobachten, dass nicht alle sequentiellen Gleichgewichte plausibel sind: Da für K die Strategie <math> E_2 </math> von der Strategie N strikt dominiert wird, ist eine Wahrscheinlichkeitseinschätzung von <math> \mu_1 </math> < 5/7 nicht realitätsnah. Das sequentielle Gleichgewicht (N,A) für diese Einschätzung ist also unplausibel.
  
  
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Ein weiteres, sehr bekanntes Beispiel für ein Spiel mit sequentiellem Gleichgewicht ist das Spiel [[Seltens Pferd]].
 
Ein weiteres, sehr bekanntes Beispiel für ein Spiel mit sequentiellem Gleichgewicht ist das Spiel [[Seltens Pferd]].
 
 
 
'''Dieser Artikel wird gerade überarbeitet und demnächst weiter ergänzt'''
 
  
  

Version vom 29. November 2008, 00:01 Uhr

Das sequentielle Gleichgewicht ist eine Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts insbesondere für Spiele mit unvollkommener Information. Das von Kreps und Wilson 1982 entwickelte Konzept versucht dabei auch, unplausible teilspielperfekte Gleichgewichte auszuschließen. Die Menge der sequentiellen Gleichgewichte bildet damit eine Teilmenge der teilspielperfekten Gleichgewichte.


Inhaltsverzeichnis

Motivation

Um teilspielperfekte Strategien zu entwickeln, müssen Spieler über vollkommene Information verfügen, das heißt, sie müssen über den bisherigen Spielverlauf informiert sein. Ist diese Information nicht gegeben, bilden Spieler eine Wahrscheinlichkeitseinschätzung, welche Strategien bisher gespielt wurden und an welchem Entscheidungsknoten sie sich gerade befinden. Entlang eines Nash-Gleichgewichtspfads können diese Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Bayes'schen Regel berechnet werden; tritt jedoch - aufgrund eines Fehlers oder einer beabsichtigten Abweichung - ein Ereignisse außerhalb dieses Pfades ein, versagt die Regel, da für Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit Null keine bedingten Wahrscheinlichkeiten definiert sind. Das Konzept der sequentiellen Gleichgewichte bezieht auch diese Ereignisse ein, so dass sich Spieler bei allen, auch bei unerwarteten, Ereignissen optimal verhalten.


Definitionen und Bemerkungen

Definition (sequentielles Gleichgewicht)


Ein sequentielles Gleichgewicht ist ein Paar (s,μ) mit der Strategiekombination s und der Wahrscheinlichkeitseinschätzung μ, falls gilt:

(a) Jede Handlung eines Spielers ist an jeder Informationsmenge eine optimale Wahl, gegeben das Paar (s,μ), d.h., gegeben die Strategien si der anderen Spieler und gegeben die Wahrscheinlichkeitseinschätzung μ.

(b) Die Wahrscheinlichkeitseinschätzungen über das Verhalten der anderen Spieler sind konsistent mit den im weiteren Spielverlauf optimalen Strategien dieser Spieler.


Sequentielle Rationalität

Die in Teil a der Definition angeführte optimale Wahl wird auch als sequentiell rationale Einschätzung bezeichnet und wie folgt definiert:

In einem extensiven Spiel mit perfekter Erinnerung heißt eine Einschätzung (s*, μ * ) sequentiell rational, wenn für die Auszahlung ui jedes Spielers i und für jede seiner Informationsmengen  I_i^j \in \mathfrak I_i gilt:  \quad u_i (s^*, \mu^*; I_i^j) \ge u_i (s_i, s_{-i}, \mu^*; I_i^j) \quad \forall s_i.


Konsistenz

Die in Teil b der Definition für die Wahrscheinlichkeitseinschätzungen geforderte Konsistenz definieren Kreps und Wilson folgendermaßen:

Seien sε vollständig gemischte Strategiekombinationen, bei denen jede reine Strategie mit mindestens einer echt positiven Wahrscheinlichkeit ε gespielt wird und seien με die aus der Anwendung der Bayes'schen Regel resultierenden Wahrscheinlichkeitseinschätzungen.
Dann heißt eine Kombination (s,μ) konsistent, wenn eine Folge (sεε) existiert, so dass
 \lim_{{\epsilon} \to 0}(s^{\epsilon},\mu ^{\epsilon} ) = (s,\mu )


Definition (Kurzfassung)

Mit diesen Begriffen ist auch eine Kurzfassung der Definition möglich:


Eine Einschätzung, die sequentiell rational und konsistent ist, heißt sequentielles Gleichgewicht.


Bemerkungen

Ähnlich wie beim teilspielperfekten Gleichgewicht soll also bei jedem erreichten Punkt der folgende Spielverlauf wieder ein sequentielles Gleichgewicht sein, selbst wenn der bisher erreichte Punkt nicht mehr im Nash-Gleichgewichtspfad liegt. In letzterem Fall errechnen die Spieler dann mit Hilfe ihrer Wahrscheinlichkeitseinschätzungen µ bedingt auf den erreichten Entscheidungsknoten nach der Bayes'schen Regel neue Wahrscheinlichkeiten und spielen (bis zum nächsten abweichenden Ereignis) wieder optimale Strategien. Bei einer weiteren Abweichungen wiederholt sich dieser Vorgang.

Zu beachten ist, dass jedes Nash-Gleichgewicht bereits mit einer einzigen konsistenten Wahrscheinlichkeitseinschätzung zu einem sequentiellen Gleichgewicht wird; es ist nicht notwendig, dass alle möglichen konsistenten Wahrscheinlichkeitseinschätzungen berücksichtigt werden.

Sequentielle Gleichgewichte können ihrerseits aber ebenfalls unplausibel sein (vgl. das Beispiel "Variante des Markteintrittspiels"). Es wurden daher weitere Verfeinerungen auch des sequentiellen Gleichgewichts entwickelt. Beispielhaft seien hier nur die Konzepte des trembling-hand-perfekten Gleichgewichts oder des perfekten Gleichgewichts genannt.


Beispiele

Variante des Markteintrittspiels

In einer Version des Markteintrittspiels überlegt ein Konkurrent K eines Monopolisten M, in den Markt des Monopolisten einzutreten. Tritt K ein, so kann er zwischen zwei Alternativen E1 und E2 wählen (etwa zwischen zwei Produktionsmethoden). Tritt K ein, so kann M zwischen einer Duldung (D) oder einem aggressiven Verdrängungskampf (A) wählen, ohne jedoch zu wissen, ob K die Alternative 1 oder 2 gewählt hat. N sei Nichteintritt von K.

Sei also G = (L, H, j, u) mit

  • der Spielermenge L = {K,M}
  • der Historie  H = \{\emptyset, (N),(E_1),(E_2), (E_1,A), (E_1,D), (E_2,A), (E_2,D)\}, wobei E = \{\emptyset,(E_1), (E_2)\} die Entscheidungsmenge ist und die Endknoten  Z:=H \setminus E = \{(N), (E_1,A), (E_1,D), (E_2,A), (E_2,D)\}
  • der Spielerfunktion j:E \longrightarrow L mit j(\emptyset)= K und j((E1)) = j((E2)) = M
  • der Nutzenfunktion u mit den in Matrix 1 (bzw. 2) angegeben Auszahlungen

und den Wahrscheinlichkeitseinschätzungen von M μ1, dass K bei Markteintritt die Strategie E1 und μ2 = (1 - μ1), dass er E2 gewählt hat.

Matrix 1


A D
N (0,60) (0,60)
E1 (-10,-10) (30,30)
E2 (-5,-5) (-20,10)

Dieses Spiel hat offensichtlich zwei Nash-Gleichgewichte, (N,A) und (E1,D). Da M keine Information darüber hat, ob K E1 oder E2 gewählt hat, kann das Spiel nicht in eizelne Teilspiele zerlegt werden. Da somit das Gesamtspiel das einzige mögliche Teilspiel ist, sind diese beiden Gleichgewichte natürlich auch die beiden teilspielperfekte Gleichgewichte, obwohl (N,A) wegen der rational nicht zu rechtfertigenden Entscheidung von M für A offenbar unplausibel ist. Ist K in den Markt eingetreten, so bildet M Wahrscheinlichkeitseinschätzungen μ1, ob K die Alternative 1 gewählt hat und kann damit seinen Erwartungsnutzen für beide Alternativen berechnen:

  • wählt M die Strategie D, so beträgt sein Erwartungsnutzen 30μ1 + 10(1 − μ1) = 20μ1 + 10
  • wählt M die Strategie A, so beträgt sein Erwartungsnutzen − 10μ1 − 5(1 − μ1) = − 5μ1 − 5

Da für jedes μ1 > 0 D offensichtlich besser ist als A, wird M immer D wählen. K antizipiert dies und tritt in den Markt ein, so dass (E1,D) als einziges sequentielles Gleichgewicht bestehen bleibt.

Matrix 2


A D
N (0,60) (0,60)
E1 (-10,-10) (30,30)
E2 (-5,40) (-20,10)

Ändern wir die Auszahlung von (A,E2) wie in der zweiten Matrix auf (-5,40) ab, ändert sich die Situation für M grundlegend. Nun hängt seine optimale Strategie ganz wesentlich von der von K gewählten Alternative ab: Hat K 1 gewählt, so ist D die beste Antwort, hat K 2 gewählt, ist A die optimale Strategie. M wird nun A wählen, wenn der Erwartungsnutzen der Strategie A größer als der Erwartungsnutzen von D ist, also wenn gilt: − 10μ1 + 40(1 − μ1) = − 50μ1 + 40 > 30μ1 + 10(1 − μ1) = 20μ1 + 10. Das heißt, schätzt M die Wahrscheinlichkeit μ1 < 5/7, so wird er sich für einen aggressiven Kampf (A) entscheiden, schätzt er jedoch μ1 als größer als 5/7, so wird er sich erneut für D entscheiden, schätzt er μ1 als genau 5/7 ein, so ist er indifferent zwischen den beiden Möglichkeiten.

Das sequentielle Gleichgewicht dieses Spiels ist also für μ1 < 5/7 die Strategie (N,A) und für μ1 > 5/7 die Strategie (E1,D). (Für die Situation μ1 = 5/7 muss sich K eine Einschätzung darüber bilden, mit welcher Wahrscheinlichkeit P(D) (bzw. p(A) = 1 - p(D)) M die Option D (bzw. A) spielt und dies mit seinem Erwartungsnutzen abgleichen. Das sequentielle Gleichgewicht ergibt sich dann analog aus der als rational erkannten Strategie von K.)


An diesem Beispiel ist auch zu beobachten, dass nicht alle sequentiellen Gleichgewichte plausibel sind: Da für K die Strategie E2 von der Strategie N strikt dominiert wird, ist eine Wahrscheinlichkeitseinschätzung von μ1 < 5/7 nicht realitätsnah. Das sequentielle Gleichgewicht (N,A) für diese Einschätzung ist also unplausibel.


Seltens Pferd

Ein weiteres, sehr bekanntes Beispiel für ein Spiel mit sequentiellem Gleichgewicht ist das Spiel Seltens Pferd.


Quelle

  • Holler, Manfred J., Illing, G.: Einführung in die Spieltheorie, Springer Verlag Berlin Heidelberg, 7. Aufl. 2009, ISBN 978-3-540-69372-7
  • Schlee, Walter: Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1. Aufl. 2004, ISBN 3-528-03214-6
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