Sequentielles Gleichgewicht

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Das sequentielle Gleichgewicht ist eine Verfeinerung des Nash-Gleichgewichts insbesondere für Spiele mit unvollkommener Information. Das von Kreps und Wilson 1982 entwickelte Konzept berücksichtigt mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitseinschätzungen Ereignisse, die außerhalb eines Nash-Gleichgewichtspfades liegen, und versucht, unplausible teilspielperfekte Gleichgewichte auszuschließen. Die Menge der sequentiellen Gleichgewichte bildet damit eine Teilmenge der teilspielperfekten Gleichgewichte.


Inhaltsverzeichnis

Motivation

Um teilspielperfekte Strategien zu entwickeln, müssen Spieler über vollkommene Information verfügen, das heißt, sie müssen über den bisherigen Spielverlauf informiert sein. Ist diese Information nicht gegeben, bilden Spieler eine Wahrscheinlichkeitseinschätzung, welche Strategien bisher gespielt wurden und an welchem Entscheidungsknoten sie sich gerade befinden. Entlang eines Nash-Gleichgewichtspfads können diese Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Bayes'schen Regel berechnet werden; tritt jedoch - aufgrund eines Fehlers oder einer beabsichtigten Abweichung - ein Ereignisse außerhalb dieses Pfades ein, versagt die Regel, da für Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit Null keine bedingten Wahrscheinlichkeiten definiert sind. Das Konzept der sequentiellen Gleichgewichte bezieht auch diese Ereignisse ein, so dass sich Spieler bei allen, auch bei unerwarteten, Ereignissen optimal verhalten.


Definition


Ein sequentielles Gleichgewicht ist ein Paar (s,μ) mit der Strategiekombination s und der Wahrscheinlichkeitseinschätzung μ, falls gilt:

(a) Jede Handlung eines Spielers ist an jeder Informationsmenge eine optimale Wahl, gegeben das Paar (s,μ), d.h., gegeben die Strategien si der anderen Spieler und gegeben die Wahrscheinlichkeitseinschätzung μ.

(b) Die Wahrscheinlichkeitseinschätzungen über das Verhalten der anderen Spieler sind konsistent mit den im weiteren Spielverlauf optimalen Strategien dieser Spieler.


Konsistenz

Die in Teil b der Definition für die Wahrscheinlichkeitseinschätzungen geforderte Konsistenz definieren Kreps und Wilson dabei folgendermaßen:


Seien sε vollständig gemischte Strategiekombinationen, bei denen jede reine Strategie mit mindestens einer echt positiven Wahrscheinlichkeit ε gespielt wird und seien με die aus der Anwendung der Bayes'schen Regel resultierenden Wahrscheinlichkeitseinschätzungen.

Dann heißt eine Kombination (s,μ) konsistent, wenn eine Folge (sεε) existiert, so dass  \lim_{{\epsilon} \to 0}(s^{\epsilon},\mu ^{\epsilon} ) = (s,\mu )

Ähnlich wie beim teilspielperfekten Gleichgewicht soll also bei jedem erreichten Punkt der folgende Spielverlauf wieder ein sequentielles Gleichgewicht sein, selbst wenn der bisher erreichte Punkt nicht mehr im Nash-Gleichgewichtspfad liegt. Mit Hilfe ihrer Wahrscheinlichkeitseinschätzungen µ errechnen die Spieler dann bedingt auf den erreichten Entscheidungsknoten nach der Bayes'schen Regel neue Wahrscheinlichkeiten und spielen (bis zum nächsten abweichenden Ereignis) wieder optimale Strategien. Bei einer weiteren Abweichungen wiederholt sich dieser Vorgang.

Zu beachten ist, dass jedes Nash-Gleichgewicht bereits mit einer einzigen konsistenten Wahrscheinlichkeitseinschätzung zu einem sequentiellen Gleichgewicht wird; es ist nicht notwendig, dass alle möglichen konsistenten Wahrscheinlichkeitseinschätzungen berücksichtigt werden.


Beispiel

In einer Version des Markteintrittspiels überlegt ein Konkurrent K eines Monopolisten M, in den Markt des Monopolisten einzutreten. Tritt K ein, so kann er zwischen zwei Alternativen E1 und E2 wählen (etwa zwischen zwei Produktionsmethoden). Tritt K ein, so kann M zwischen einer Duldung (D) oder einem aggressiven Verdrängungskampf (A) wählen, ohne jedoch zu wissen, ob K die Alternative 1 oder 2 gewählt hat. Die Auszahlungen betragen (mit N = Nichteintritt von K):


A D
N (0,60) (0,60)
E1 (-10,-10) (30,30)
E2 (-5,-5) (-20,10)

Dieses Spiel hat offensichtlich zwei Nash-Gleichgewichte, (N,A) und (E1,D). Da M keine Information darüber hat, ob K E1 oder E2 gewählt hat, kann das Spiel nicht in eizelne Teilspiele zerlegt werden. Da somit das Gesamtspiel das einzige mögliche Teilspiel ist, sind diese beiden Gleichgewichte natürlich auch die beiden teilspielperfekte Gleichgewichte, obwohl (N,A) wegen der rational nicht zu rechtfertigenden Entscheidung von M für A offenbar unplausibel ist. Ist K in den Markt eingetreten, so bildet M Wahrscheinlichkeitseinschätzungen μ1, ob K die Alternative 1 oder 2 gewählt hat und kann damit seinen Erwartungsnutzen für beide Alternativen berechnen:

  • wählt M die Strategie D, so beträgt sein Erwartungsnutzen 30μ1 + 10(1 − μ1) = 20μ1 + 10
  • wählt M die Strategie A, so beträgt sein Erwartungsnutzen − 10μ1 − 5(1 − μ1) = − 5μ1 − 5

Da für jedes μ1 > 0 D offensichtlich besser ist als A, wird M immer D wählen. K antizipiert dies und tritt in den Markt ein, so dass (E1,D) als einziges sequentielles Gleichgewicht bestehen bleibt.


A D
N (0,60) (0,60)
E1 (-10,-10) (30,30)
E2 (-5,40) (-20,10)

Ändern wir die Auszahlung von (A,E2) wie in der zweiten Matrix auf (-5,40) ab, ändert sich die Situation für M grundlegend. Nun hängt seine optimale Strategie ganz wesentlich von der von K gewählten Alternative ab: Hat K 1 gewählt, so ist D die beste Antwort, hat K 2 gewählt, ist A die optimale Strategie. M wird nun A wählen, wenn der Erwartungsnutzen der Strategie A größer als der Erwartungsnutzen von D ist, also wenn gilt: − 10μ1 + 40(1 − μ1) = − 50μ1 + 40 > 30μ1 + 10(1 − μ1) = 20μ1 + 10. Das heißt, schätzt M die Wahrscheinlichkeit μ1 < 5/7, so wird er sich für einen aggressiven Kampf (A) entscheiden, schätzt er jedoch μ1 als größer als 5/7, so wird er sich erneut für D entscheiden.


Dieser Artikel wird gerade überarbeitet und demnächst weiter ergänzt


Quelle

  • Holler, Manfred J., Illing, G.: Einführung in die Spieltheorie, Springer Verlag Berlin Heidelberg, 7. Aufl. 2009, ISBN 978-3-540-69372-7
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