Shapley-Shubik Index

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Der Shapley-Shubik-(Power)-Index wurde von Lloyed Shapley und Martin Shubik formuliert und ist ein Beispiel für einen Machtindex für Abstimmungsmacht.

Ein Machtindex ist ein Instrument zur Messung von Macht (Power). Er gehört dabei zu den bekanntesten Machtindizes, welche eine ganz besondere Form von Macht messen:

die sogenannte „Abstimmungsmacht“ (voting power).

Damit ist das Entscheidungsgewicht einzelner Mitglieder eines Gremiums bei Mehrheitsentscheidungen gemeint. (z.B. bei Abstimmungen im Parlament bei Koalitionen) Diese Bestandteile einer Abstimmung (voting game), z.B. Abgeordnete bei einer Versammlung des Bundestags, Aktionäre bei einer Hauptversammlung, können als Spieler in einem Spiel mit n Teilnehmern angesehen werden. Dabei ist eine Entscheidung in einem Gremium getroffen, wenn die Befürworter einer Alternative ein Quorum erreichen. Diese werden dann auch als Gewinner bezeichnet.

Der Shapley-Shubik-(Power)-Index basiert auf dem Shapley-Wert.

Beispiele dafür ist z.B. eine absolute Mehrheit von mehr als 50 Prozent, usw.


Beim Shapley-Shubik-Index bestimmt sich die Macht eines Mitglieds aus der Anzahl der Anordnungen aller Mitglieder, bei denen das Quorum genau mit diesem Mitglied erreicht wird und der Power-Index nimmt nur Werte auf dem Intervall [0,1] an mit Summe = 1.

(0 bedeutet: Die Koalition hat keinen Einfluss auf den Ausgang der Abstimmung; 1: bedeutet, dass diese den Ausgang der Abstimmung bestimmen wird)


Einfaches Beispiel:

Quorum = 4, A hat 1 Stimme, B 2, C 3. Um das Quorum zu erreichen, müssen sich damit A und C für eine gemeinsame Alternative entscheiden)

Dadurch wird jede Koalition mit dem Faktor (n−1)! · (Nn)! · k gewichtet, wobei n die Anzahl ihrer Mitglieder, k die Anzahl einzelner Mitglieder, die sie scheitern lassen können, und N die Anzahl aller Mitglieder ist.

Beispiel (Erweiterung von oben):

Drei Mitglieder A, B und C mit einem Stimmgewicht von 50, 49 und 1 treffen Entscheidungen mit einem Quorum von 51 Prozent. Man betrachtet alle möglichen Dreierpermutationen und notiert, ab welchem Mitglied das Quorum erreicht ist.

Erst wenn sich zu A das Mitglied B hinzugesellt, ist das Quorum erreicht: B entscheidet. Das Gleiche gilt für C, wenn es sich mit A zusammenschließt, denn auch A und C erreichen das Quorum. Die übrigen Fälle sind analog:

  • ABC: B entscheidet (Quorum mit AB erreicht)
  • ACB: C entscheidet (Quorum mit AC erreicht)
  • BAC: A entscheidet (Quorum mit BA erreicht)
  • BCA: A entscheidet (Quorum mit BCA erreicht)
  • CAB: A entscheidet (Quorum mit CA erreicht)
  • CBA: A entscheidet (Quorum mit CBA erreicht)

Von den sechs möglichen Permutationen entscheidet A vier, B und C entscheiden jeweils eine. Der Shapley-Shubik-Index ist der normalisierte Wert:

  • A hat den Machtindex 2/3 ≈ 67 Prozent
  • B hat den Machtindex 1/6 ≈ 17 Prozent
  • C hat den Machtindex 1/6 ≈ 17 Prozent

Das Mitglied C mit nur einer Stimme hat den gleichen Machtindex wie Mitglied B mit 49 Stimmen. Erhöht man das Quorum um eine Stimme auf 52, verliert C jegliche Entscheidungsmacht, ebenso bei einem Quorum von 49 Stimmen:

Quorum Machtindex von

A (50 Stimmen)

Machtindex von

B (49 Stimmen)

Machtindex von

C (1 Stimme)

100 1/3 1/3 1/3
52–99 1/2 1/2 0
51 2/3 1/6 1/6
50 2/3 1/6 1/6
2–49 1/2 1/2 0
1 1/3 1/3 1/3
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