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In diesem Artikel wird der Begriff der ''Stabilität'' von [[Dynamisches System|dynamischen Systemen]] oder autonomen Differentialgleichungen von der Form x&prime; = F(x) bereitgestellt. Dabei ist F: X &rarr; R<sup>m</sup> eine stetig differenzierbare Abbildung auf einer offenen, nichtleeren Teilmenge X &sub; R<sup>m</sup> (oder allgemeiner ein glattes Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit X). <br>

Ein Punkt a &isin; X heißt ''dynamisches Gleichgewicht'' von x&prime; = F(x) (auch einfach ''Gleichgewicht'') oder ''Fixpunkt'', wenn F(a) = 0. Und x(t) := a , t &isin; R, heißt dann ''Gleichgewichtslösung'' oder ''stationäre'' Lösung des dynamischen Systems.

==Stabilität==

'''Definition:''' F: X &rarr; R<sup>m</sup> sei stetig mit der folgenden Eigenschaft: Zu jedem Anfangswert b &isin; X ist die maximale Lösung x = x<sub>b</sub> von x&prime; = F(x) , x(0) = b, mindestens auf ganz {t &isin; R | t &ge; 0} definiert (z.B. wenn das System vollst&auml;ndig ist, vgl. mit Artikel ''[[Dynamisches System]]''). 
# Ein dynamisches Gleichgewicht a heißt ''stabil'', wenn es zu jeder Umgebung V von a in X eine Umgebung W von a in V mit der folgenden Eigenschaft gibt: Für alle b &isin; W erfüllt die maximale Lösung x = x<sub>b</sub> der Bedingung x<sub>b</sub>(t) &isin; V für alle t &ge; 0.
# Ein dynamisches Gleichgewicht a heißt ''asymptotisch stabil'', wenn es eine Umgebung W von a in X mit der folgenden Eigenschaft gibt: Für alle b &isin; W konvergiert die maximale Lösung x = x<sub>b</sub> gegen a in dem Sinne, dass x<sub>b</sub>(t) &rarr; a für t &rarr; &infin; gilt.

Asymptotisch stabile Gleichgewichte sind also stabil.<br>

Beispiele: 
* x&prime; = rx hat im Falle r &ne; 0  den Punkt 0 als einziges dynamisches Gleichgewicht, das für r > 0 nicht stabil und für r < 0 asymptotisch stabil ist.
* Für x&prime; = 0 ist jede Konstante x(t) = a eine stationäre Lösung und auch stabil, aber nicht asymptotisch stabil.
* Das Wachstumsmodell x&prime; = rx - r&beta;x<sup>2</sup> hat die Lösungen x(t) = (&beta;(1 - cexp(-rt)))<sup>-1</sup> , t &isin; R (r > 0, &beta; > 0). 0 und &eta; := 1/&beta; sind dynamische Gleichgewichte. 0 ist nicht stabil und &eta; ist asymptotisch stabil.

==Linearisierung:==

'''Satz:''' Es sei a &isin; X ein stabiles Gleichgewicht von x&prime; = F(x). Dann hat kein Eigenwert von DF(a) einen positiven Realteil.

'''Satz:''' Sei a &isin; X ein dynamisches Gleichgewicht von x&prime; = F(x), für das jeder Eigenwert von DF(a) einen negativen Realteil habe. Dann ist a ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht.

Ein dynamisches System x&prime; = F(x) heiße ''hyperbolisch'' in einem Gleichgewichtspunkt a &isin; X, wenn alle Eigenwerte von DF(a) einen nichtverschwindenden Realteil haben. <br>

Dann folgt für ein in a hyperbolisches dynamisches System: a ist genau dann asymptotisch stabile Gleichgewichtsl&ouml;sung von x&prime; = F(x), wenn 0 asymptotisch stabile Gleichgewichtsl&ouml;sung der ''Linearisierung'' x&prime; = DF(a)x ist.