Stabilität

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In diesem Artikel wird der Begriff der Stabilität von dynamischen Systemen oder autonomen Differentialgleichungen von der Form x′ = F(x) bereitgestellt. Dabei ist F: X → Rm eine stetig differenzierbare Abbildung auf einer offenen, nichtleeren Teilmenge X ⊂ Rm (oder allgemeiner ein glattes Vektorfeld auf einer Mannigfaltigkeit X).

Ein Punkt a ∈ X heißt dynamisches Gleichgewicht von x′ = F(x) (auch einfach Gleichgewicht) oder Fixpunkt, wenn F(a) = 0. Und x(t) := a , t ∈ R, heißt dann Gleichgewichtslösung oder stationäre Lösung des dynamischen Systems.

Stabilität

Definition: F: X → Rm sei stetig mit der folgenden Eigenschaft: Zu jedem Anfangswert b ∈ X ist die maximale Lösung x = xb von x′ = F(x) , x(0) = b, mindestens auf ganz {t ∈ R | t ≥ 0} definiert (z.B. wenn das System vollständig ist, vgl. mit Artikel Dynamisches System).

  1. Ein dynamisches Gleichgewicht a heißt stabil, wenn es zu jeder Umgebung V von a in X eine Umgebung W von a in V mit der folgenden Eigenschaft gibt: Für alle b ∈ W erfüllt die maximale Lösung x = xb der Bedingung xb(t) ∈ V für alle t ≥ 0.
  2. Ein dynamisches Gleichgewicht a heißt asymptotisch stabil, wenn es eine Umgebung W von a in X mit der folgenden Eigenschaft gibt: Für alle b ∈ W konvergiert die maximale Lösung x = xb gegen a in dem Sinne, dass xb(t) → a für t → ∞ gilt.

Asymptotisch stabile Gleichgewichte sind also stabil.

Beispiele:

  • x′ = rx hat im Falle r ≠ 0 den Punkt 0 als einziges dynamisches Gleichgewicht, das für r > 0 nicht stabil und für r < 0 asymptotisch stabil ist.
  • Für x′ = 0 ist jede Konstante x(t) = a eine stationäre Lösung und auch stabil, aber nicht asymptotisch stabil.
  • Das Wachstumsmodell x′ = rx - rβx2 hat die Lösungen x(t) = (β(1 - cexp(-rt)))-1 , t ∈ R (r > 0, β > 0). 0 und η := 1/β sind dynamische Gleichgewichte. 0 ist nicht stabil und η ist asymptotisch stabil.

Linearisierung:

Satz: Es sei a ∈ X ein stabiles Gleichgewicht von x′ = F(x). Dann hat kein Eigenwert von DF(a) einen positiven Realteil.

Satz: Sei a ∈ X ein dynamisches Gleichgewicht von x′ = F(x), für das jeder Eigenwert von DF(a) einen negativen Realteil habe. Dann ist a ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht.

Ein dynamisches System x′ = F(x) heiße hyperbolisch in einem Gleichgewichtspunkt a ∈ X, wenn alle Eigenwerte von DF(a) einen nichtverschwindenden Realteil haben.

Dann folgt für ein in a hyperbolisches dynamisches System: a ist genau dann asymptotisch stabile Gleichgewichtslösung von x′ = F(x), wenn 0 asymptotisch stabile Gleichgewichtslösung der Linearisierung x′ = DF(a)x ist.

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