Strikte Dominanz

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Definition und Abgrenzung

Definition : Eine Strategie s^*_i ist strikt dominant gegenüber si wenn sie für jede denkbare Strategie s_-i\in S_-i der Gegner zu einer höheren Auszahlung führt als si, d.h. wenn gilt, dass

         u_i ( s ^ *_i,s_{-i})  >  u_i (s _i,s_{-i}) \quad \forall s_{-i} \in S_{-i}  
 

Eine strikt dominante Strategie s^*_i von Spieler i ist also dadurch charakterisiert, dass sie unabhängig von der Strategiewahl der übrigen Spieler eine höhere Auszahlung garantiert als die alternative Strategie s _i \in S_i. Verfügt in einem Spiel jeder Spieler über eine strikt dominante Strategie s^*_i, so ist es offenbar für jeden Spieler rational, die Strategiekombination s * als nichtkooperative Lösung zu spielen. Aus der Definition von strikter Dominanz folgt unmittelbar, daß es für jeden Spieler in einem Spiel maximal eine strikt dominante Strategie geben kann.

Die weniger erfolgreiche Strategie si heisst strikt dominierte Strategie. Eine Strategie ist strikt dominiert, falls es eine andere Strategie gibt, die für alle möglichen Strategien des Gegners eine höhere Auszahlung verspricht. Entsprechend ist eine Strategie schwach dominiert, falls es eine andere Strategie gibt, die für alle möglichen Strategien des Gegners eine mindestens genauso hohe Auszahlung bewirkt und für mindestens eine Strategie des Gegners eine höhere.

Beachte: Strikt dominierte Strategien werden nie gespielt und können damit gestrichen werden (siehe auch Elimination durch Dominanz). Begründung: Rationales Verhalten in Verbindung mit vollkommener Information sorgt dafür, dass Spieler i weiß, dass si immer eine schlechtere Auszahlung generiert, egal was die andere Spieler wählen.


Strikte Dominanz und rationale Aktionen

Satz : Wenn die Strategie si von Spieler i durch eine Strategie s^*_i strikt dominiert wird, dann ist sie nicht rational.

Die Umkehrung dieses Satzes gilt nicht, d.h es kann sein, dass eine Strategie si nicht durch eine andere Strategie strikt dominiert wird, sie aber dennoch nicht rational ist. Dies wird anhand folgenden Beispiels illustriert:

Beispiel:

L R
T 3 ,1 0 , 0
M 1 , 1 1 , 4
B 0 , 3 3 , 2


In diesem Spiel wird die Strategie M von Spieler 1 weder durch T noch durch B strikt dominiert. Dennoch ist die Startegie niemals eine beste Antwort und damit nicht rational. Außer Spieler 1 ist pessimistischer Natur und verhält sich gemäß der Maximinstrategie. Diese kann durchaus auch Sinn machen, da i.d.R. der Spieler 1 in einem nicht-kooperativen Spiel in strategischer Form die beste Anwort a priori nicht wissen kann.

Betrachtet man in diesem Beispiel die gemischte Strategie p^*_1 für Spieler 1 mit p^*_1 (T)=p^*_1 (B) =0.5
(und somit p^*_1
(M)=0 ), so gilt für diese Strategie

             u_1(p^*_1, a_2)=1.5   

für alle a2.


Insbesondere liefert die gemischte Strategie p^*_1 stets eine strikt grössere Auszahlung als die Strategie M. Es bietet sich an, die Definition der strikten Dominanz entsprechend zu verallgemeinern.


Definition: Eine Strategie ai von Spieler i wird durch die gemischte Strategie p^*_i von Spieler i strikt dominiert wenn

            u_i(p^*_i , a_j)>u_i(a_i , a_j)

für alle aj gilt.

Es ist nicht schwer zu sehen, dass eine Aktion ai, die durch eine gemischte Strategie p^*_i strikt dominiert wird, nicht rational ist. Hier gilt auch die Umkehrung.

Fazit

Eine Möglichkeit, die häufig zur Vereinfachung komplexerer Spiele hilfreich ist, findet sich in der Elimination dominierter Strategien. Hierbei werden die strikt dominierten Strategien aus der Spielmatrix eliminiert (siehe Elimination durch Dominanz) ).

In jeder Art von Spiel ist es sinnvoll, zuerst nach Dominanzen zu suchen. Dominante Gleichgewichte sind immer gut prognostizierbare Zustände für den Ausgang eines Spiels.



Literatur:

           [1] Dr.Thomas Riechmann, Spieltheorie, Vahlen Verlag, 2002
           [2] Gernot Sieg, Spieltheorie, Oldenbourg Verlag, 2005
           [3] http://www.econ1.uni-bonn.de/spiele05-v10.pdf [Stand: Juli 2006]
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