Tausendfüssler-Spiel

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Das Tausendfüßler-Spiel ist ein Beispiel dafür, dass teilspielperfekte Gleichgewichte, die durch Rückwärtsinduktion gefunden werden, zu suboptimalen Auszahlungen für alle Spieler führen können.


Spielbeschreibung

Zwei Personen spielen ein extensives, nicht-kooperatives Spiel, bei dem sie an fünf Zügen jeweils abwechselnd zwischen "Spiel beenden" (B) und "Spiel fortsetzen" (F) und bei einem sechsten Zug zwischen B und S für "Schluss" wählen können. Die Auszahlungen betragen: (1,0) für B beim ersten Zug, (0,2) für B beim zweiten, (3,1) beim dritten, (2,4) beim vierten, (5,3) beim fünften, (4,6) für B beim sechsten und (6,5) für S.


Gegeben ist also G = (M, H, j, u) mit

  • der Spielermenge M = {1,2},
  • der Historie  H = \{\emptyset, (F), (B), (F,F), (F,B), (F,F,F), (F,F,B), (F,F,F,F), (F,F,F,B), (F,F,F,F,F), (F,F,F,F,B), (F,F,F,F,F,S), (F,F,F,F,F,B)\}, mit
  • der Entscheidungsmenge E = \{\emptyset,(F), (F,F), (F,F,F), (F,F,F,F), (F,F,F,F,F)\} und
  • den Endknoten  Z:=H \setminus E = \{(B), (F,B), (F,F,B), (F,F,F,B), (F,F,F,F,B), (F,F,F,F,F,S), (F,F,F,F,F,B)\} ,
  • der Spielerfunktion j:E \longrightarrow M mit
    • j((\emptyset)) = j((F,F)) = j((F,F,F,F)) = 1 und
    • j((F)) = j((F,F,F)) = j((F,F,F,F,F)) = 2 sowie
  • der Nutzenfunktion u mit den oben und im Spielbaum angegeben Auszahlungen:


Spielbaum
                          F               F                F               F               F              S
                [1]-------------[2]-------------[1]-------------[2]-------------[1]-------------[2]------------- (6,5)
                  |               |               |               |               |               |
                  |               |               |               |               |               |
                B |             B |             B |             B |             B |             B |
                  |               |               |               |               |               |
                  |               |               |               |               |               |
                (1,0)           (0,2)           (3,1)           (2,4)           (5,3)           (4,6)
  


(Paradoxe) Lösung durch Rückwärtsinduktion

Das teilspielperfekte Gleichgewicht findet man durch Rückwärtsinduktion: Beim letzten Zug wird Spieler 2 B wählen, um seine Auszahlung zu maximieren, Spieler 1 antizipiert dies und wählt daher beim fünften Zug lieber selbst B, was wiederum Spieler 2 antizipiert und zuvor lieber B wählt usw. bis zum ersten Zug, wo Spieler 1 lieber B wählt als F, da die Auszahlung (1,0) im Vergleich zu (0,2) für ihn die beste Antwort ist.

Die optimale Strategie s_i^* ist also für beide Spieler s_i^* = (B,B,B),  (i \in \{1,2\}) Damit ergeben sich als teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte (s_1^*, s_2) = ((B,X,X), (X,X,Y)) mit X \in \{B,F\}, Y \in \{B,F,S\} mit der Auszahlung (1,0).

Interessant und paradox daran ist, dass beide Spieler damit wesentlich schlechter abschneiden, als sie könnten (wenn das Spiel z.B. beim sechsten Zug mit S (6,5) oder B (4,6) beendet wird). Man kann das Ergebnis also als Variante des Prinzips "Lieber einen Spatz in der Hand, als eine Taube auf dem Dach" interpretieren: Dadurch, dass sie sich beim folgenden Zug stets verschlechtern können, wählen rational handelnde Spieler lieber einen sicheren kleinen Nutzen und verwerfen damit die Möglichkeit auf größere Gewinne, als dass sie das (erwartbar eintretende) Risiko eingehen, den kleinen Gewinn zu verlieren.

Bei dieser Auszahlungsgestaltung ist zudem die Entwicklung einer kooperativen Lösung schwierig, weil immer einer der beiden Spieler auf die Höchstauszahlung von 6 verzichten müsste: Entweder Spieler 1 fällt auf 4 zurück, wenn Spieler 2 B statt S wählt, oder Spieler 2 auf 5, wenn er - irrationalerweise - S statt B wählt. Jede Vereinbarung, z.B. eine Vereinbarung, stets F und S zu wählen, wäre an irgendeinem Entscheidungsknoten irrational und damit unglaubwürdig.


Das Tausendfüssler-Spiel, dessen Name auf die spezielle Form seines Spielbaums zurückgeht, ist nicht auf sechs Züge festgelegt. Es kann beliebig um geradzahlige zusätzliche Züge erweitert werden, ohne dass sich am Resultat etwas ändern würde.

Quelle

  • Schlee, Walter: Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, Wiesbaden, 1. Aufl. 2004, ISBN 3-528-03214-6, S. 105
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