Teilspiel

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Teilspiele sind Teile eines extensiven Spiels, das "Rest-Spiel" das sich nach einer vorgegeben Historie h ergibt. Wir behandeln hier zunächst den Fall eines extensiven Spiels mit vollkommener Information. Über Teilspiele lässt sich die Plausibilität eines Nash-Gleichgewichts des extensiven Spiels untersuchen (siehe auch: Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht).

Vollkommene Information

Definition: (Teilspiel)

Sei $\Gamma=\left(M,H,P,u\right)$ ein extensives Spiel mit vollkommener Information. Zu jedem $h \in E \subset H$ hat man das Teilspiel

$\,\Gamma\left[h\right]=(M_h,H_h,P_h,u_h)$ mit:

$H_h=H \setminus h$

$E_h=E \setminus h$

$Z_h=Z \setminus h$

$M_h= P( E(h)\oplus h)$

hierbei ist $X \setminus h = \{ h': (h,h') \in X\}$ (=alle Historien die mit h beginnen, wobei h vorne "abgeschnitten" wird),

und $X \oplus h = \{ (h,h'): h' \in X\}$ (=h wird vorne "drangeklebt").

Für die Spieler- und die Nutzenfunktion wird gesetzt:

$u_h\left(h'\right)=u\left(h,h'\right)$

$P_h\left(h'\right)=P\left(h,h'\right)$ .

Lemma

Für jede Entscheidungshistorie h ist $Γ[h] = (M h, H h, P h, u h)$ wieder ein Spiel, das Teilspiel, das bei h beginnt.

Beispiel

Gegeben sei folgender Spielbaum H:

                          o   1
                         / \
                    a   /   \   b
                       /     \
                      /       o   2
                     /       / \
                    /     c /   \  d
                   /       /     \
                  o       o       o  3
                  |       |       |  
                  | e     | e     |  e
                  |       |       |
                  o       o       o

Dann ist der Spielbaum $H (b)$ :

                              o   2
                             / \
                          c /   \  d
                           /     \
                          o       o  3
                          |       |  
                          | e     |  e
                          |       |
                          o       o

Und es gilt $M (b) = {2,3}$ . Auch

ist ein Teilspiel.

Iterierte Spiele

Auch bei iterierten Spielen lassen sich Teilspiele definieren. Obiges Lemma gilt auch hier.

Sei $G = \left(M,S,u \right)$ ein Normalformenspiel und $\hat{G}_T = \left(M,H,\hat{u} \right)$ das iterierte Spiel dazu.

Hierbei geht $\hat{u}$ nach spezieller Vorgabe aus u hervor, wie zum Beispiel im Falle eines Diskonts mit

$\hat{u}=\sum_{i=1}^{T}\delta^{i-1}u(a^i)$ wobei $h = (a^n)_{n \in \{1, ...,T\} } \in Z$ , d.h. $\hat{G}_T := \hat{G}_T \left(\delta\right)$ .

Für die Definition eines Teilspiels ist es zweckmäßig zwischen endlicher und unendlicher Iteration zu unterscheiden:

Endliche Iteration

d.h. $T \in \mathbb{N}$

Ein Teilspiel $\hat{G}_T [h]$ zu $h\in H$ wird definiert durch:

$M h = M$

$H_h = H\setminus h$ $[= \{\emptyset\} \cup \bigcup_{n=1}^{T-|h|} S^n ]$

$Z h = S T - | h |$

$\hat{u}_h\left(h'\right)=\hat{u}\left(h,h'\right), h' \in H_h$

Unendliche Iteration

d.h. $T = \infty$ . Dies macht einiges einfacher:

Ein Teilspiel $\hat{G}_T [h]$ zu $h\in H$ wird definiert durch:

$M h = M$

$H h = H$

$Z h = Z$

und wie im endlichen Falle:

$\hat{u}_h\left(h'\right)=\hat{u}\left(h,h'\right), h' \in H_h$

Unvollkommene Information

Im Falle eines extensiven Spiels ohne vollkommene Information gelten nur diejenigen Teilspiele im Sinne der obigen Definition als Teilspiel, die keine der Informationsmengen zerschneiden. Der Begriff der Informationsmenge, bzw. des Informationsbezirkes, wie er hier gebraucht wird, ist im Artikel Extensive_Form:Folgendarstellung im Rahmen der Definition (Definition 2) eines Spiels mit unvollkommener Information dargelegt.

Das Beispiel

                          o   1
                         / \
                    a   /   \   b
                       /     \
                      /       o   2
                     /       / \
                    /     c /   \  d
                   /       /     \
                  o- - - -o- - - -o  3
                  |       |       |  
                  | e     | e     |  e
                  |       |       |
                  o       o       o
               (2,8,0) (0,2,0) (3,4,0)

(mit demselben Spielbaum wie oben) hat keine echten Teilspiele. Daher ist jedes Nash-Gleichgewicht bereits teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht. Es ergibt sich, dass es in dieser Situation auch teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte gibt, die nicht plausibel sind (vgl. teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht). Der Begriff des Nash-Gleichgewichts verlangt also im Falle unvollkommener Information nach einer weiteren Verfeinerung. Eine solche Verfeinerung ist z.B. in Sequentielles_Gleichgewicht definiert.

Teilspiel

Inhaltsverzeichnis

Vollkommene Information

Definition: (Teilspiel)

Lemma

Beispiel

Iterierte Spiele

Endliche Iteration

Unendliche Iteration

Unvollkommene Information

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