Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht

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Das Konzept des teilspielperfekten Nash-Gleichgewichts dient der Verfeinerung des Konzepts des Nash-Gleichgewichts bei Spielen in extensiver Form. Es macht für die Spiele in Normalform keinen Sinn.

Inhaltsverzeichnis

Definition: (Teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht)


Ein Strategieprofil zu einem Spiel in extensiver Form ist ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, wenn die Restriktion dieses Profils auf jedem Teilspiel ein Nash-Gleichgewicht ist.

Im Allgemeinen wird ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht im Falle eines endlichen extensiven Spiels mit vollkommener Information mittels Rückwärtsinduktion oder iterierter Elimination durch Dominanz gefunden: Man beginnt mit den Teilspielen, deren Aktionen alle direkt zu einem Endknoten führen, und findet dort die entsprechenden Nash-Gleichgewichte durch Dominanz. Diese Nash-Gleichgewichte werden als die Komponenten des gesuchten teilspielperfekten Nash-Gleichgewichts vor den Endknoten genommen. Durch Iteration dieser Elimination kommt man zum Ziel, also zur Bestimmung eines teilspielperfekten Nash-Gleichgewichts (siehe Existenzbeweis).

Mit Hilfe des Begriffs des 'teilspielperfektes Nash-Gleichgewichts' ist es möglich, nicht plausible Nash-Gleichgewichte (z.B. unglaubwürdige Drohungen) auszuschließen. Das wollen wir in einem Beispiel zeigen:

Beispiel:

                 o1
                / \
              J/   \N
              /     \
             o2      o2
            / \    (1,5)
          A/   \K
          /     \
         o       o
       (0,0)   (2,2)

Es liegen zwei Nash-Gleichgewichte vor, die Strategieprofile (J,K) und (N,A). Allerdings ist das zweite Nash-Gleichgewicht als eine unglaubwürdige Drohung einzustufen. Es ist nicht teilspielperfekt und wird daher mit dieser Verfeinerung des Konzepts des Gleichgewichts aussortiert.

  • Mini-ultimatum-Spiel:

Der erste spieler macht einen Vorschlag 20 $ aufzuteilen: Entweder (18,2) oder (10,10).Der zweite Spieler kann nun das Angebot akzeptieren oder Ablehnen(0,0):

               Sp. 1
                / \
            X=2/   \X=10
              /     \
             /       \
            /         \
          Sp.2        Sp.2
          / \         / \
       Ja/   \Nein Ja/   \Nein
        /     \     /     \
    (18,2)  (0,0) (10,10) (0,0)  
       (0,0)   (2,2)

Dieses Spiel lässt sich durch das Prinzip der Rückwärtsinduktion lösen.Die Gleichgewichtstrategien sind in jedem Teilspiel, d.h. in jedem Teil des Baumes, optimal.(Kein Anreiz vom Gleichgewichtspfad abzuweichen).⇒ X=1,"immer ja sagen",ist das teilspielperfekte Gleichgewicht.

Grenzen des Konzepts

Der Begriff des teilspielperfekten Nash-Gleichgewichts hat seine prinzipielle Bedeutung auch für ein extensives Spiel ohne vollkommene Information, ist hier aber in der Regel nicht so wirksam, wie im Falle vollkommener Information. Das liegt daran, dass in einem solchen Spiel häufig wenig Teilspiele (oder sogar gar keine echten Teilspiele) vorhanden sind, so dass es hier zu unplausiblen teilspielperfekten Nash-Gleichgewichten kommen kann.

Aus diesem Grunde wird für extensive Spiele ohne vollkommene Information der Begriff des sequentiellen Gleichgewichts eingeführt und studiert.

Beispiel eines unplausibles teilspielperfekten Nash-Gleichgewichts
Gegeben sei folgender Spielbaum (ohne vollkommene Information):

                          o   1
                         / \
                    a   /   \   b
                       /     \
                      /       o   2
                     /       / \
                    /     c /   \  d
                   /       /     \
                  o- - - -o- - - -o  3
                  |       |       |  
                  | e     | e     |  e
                  |       |       |
                  o       o       o
               (2,8,0) (0,2,0) (3,4,0)

In diesem Spiel sind die beiden Strategieprofile s * = (b,d,e) und t * = (b,c,e) teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte. t * ist ein unplausibles teilspielperfekten Nash-Gleichgewichts, denn u2(b,c,e) = 2 < 4 = u2(b,d,e).

Satz

G =(M,S,u) sei endliches Spiel mit genau einem Nash-Gleichgewicht š∈S in reinen Strategien.Dann existiert in ĜT(δ), T < ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht ś ≡ š.
Beweis:
\hat u_k (s)= \sum_{j=1}^T \delta^{j-1} u(\check s)
Aus dem Satz aus der Vorlesung:
(Sei G =(M,S,u= eon Basisspiel, für dasdie Menge N der Nash-Gleichgewichte nicht leer ist und sei δ∈]0,1[:
Jede abbildung s : E → N ⊂ S ist dann ein Nash-Gleichgewicht zu dem iterierten Spiel ĜT(δ), T∈{L,}. Dabei ist E = \emptyset \cup \bigcup_{n=1}^T S^n die Menge der Entscheidungshistorien.)
folgt dass š ein Nash-Gleichgewicht ist, daher:
\hat u_k (\acute s)\geq \hat u_k(s_k,\acute s_{-k})

Dazu erstmal die Definition eines Teilspiels:
\hat  \Gamma(t) = Spiel mit der 0 <t <T -ten Iteration beginnt (d.h.  \hat  \Gamma(1)= \hat G_T(\delta) ).
D.h. \hat u_{\hat  \Gamma(t),k}(s) =\sum \delta^{j-1}(\acute s)
Historie um t verkürzt etc..
Angenommen ś wäre nicht teilspielperfekt. D.h. mit sk={stk,...,sTk}; ∃I ⊂{t,..,T}, so dass ∀i∈I sik≠šk und ∀ j∈{t,..,T} ⋀ j∉I :sik≠šk
Nun gilt nach Annahme dass es ein t gibt, so dass
\sum_{j=t}^T (\delta)^{j-1} u(\acute s)<\sum_{j=t}^T(\delta)^{j-1}(s_k^j,(\acute s)_{-k})\Leftrightarrow \sum_{j \in I}(\delta)^{j-1} u(\acute s)<\sum_{j \in I}(\delta)^{j-1}(s_k^j,(\acute s)_{-k}) \Leftrightarrow \sum_{j \in I}u(\acute s)<\sum_{j \in I}u(s_k^j,(\acute s)_{-k})
da aber ś nash-Gleichgewicht von G ist, gilt für alle j∈I:

u(\acute s)\geq u(s_k^j,(\acute s)_{-k}), und das ist ein Wiederspruch.
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