Trembling-Hand-perfektes Gleichgewicht

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Einleitung

Die Trambling-Hand-Perfektheit läßt sich auch auf Spiele in extensiver Form anwenden.Es führt fast immer zu dem gleichen Ergebnissen wie der sequentielle Gleichgewicht Ansatz.Bei der Trambling-Hand-Perfektheit ist es so ,dass jede Strategie gespielt wird, unabhängig davon wie klein ihre Wahrscheinlichkeit auch ist. Bei Spielen mit extensiver Form bedeutet das, dass jeder Entscheidungsknoten mit gewisser Wahrscheinlichkeit erreicht wird. Die Forderung nach Perfektheit verlangt, dass jeder Spieler sich an jedem Knoten optimal verhält. Es gibt keine Ereignisse außerhalb des Gleichgewichtspfads.
Bei Perfektheit werden jedoch mehr Lösungen als zulässig ausgeschlossen, als bei Anwendung des sequentiellen Gleichgewichts, was dazu führt, dass die beiden Ansätze nicht immer zu den gleichen Ergebnissen führen. Das liegt daran, dass Perfektheit für jedes p-Gleichgewicht optimales Verhalten verlangt.(p=die Wahrscheinlichkeit dafür, dass einn Spieler nicht die beabsichtigte Strategie, sondern einen Fehler begeht und eine andere Strategie spielt)Das sequentielle Gleichgewicht verlangt hingegen nur optimales Verhalten für den Fall, dass p gegen Null geht. Daraus folgt:
Perfektheit läßt auch die Möglichkeit zu, dass Fehler die in der Zukunft passieren können und die Spieler dies auch in ihren Strategien berücksichtigen. Dieser Ansatz ist in den Fällen stärker, in denen ein Spieler aufgrund von möglichen zukünftigen Fehlern, heute eine sichere Handlung wählen. Dies ist immer bei nicht generischen Spielen relevant.

Beispiel

1)

                                   O
                             /     |   \
                      x(13) /      |    \x(11)
                           /       |     \
                          /        |      \
                         /   x(12) |       \
                        /          |        \
                       /           |         \
                      /            |          \
                   V o ------------ o W        \
              x(22) /\x(21) x(22) /   \x(21)    \
                   /  \          /     \         \
                  /    \        /       \         \
            (-40,20) (-10,-10)(80,80)(-20,-20) (a,200)

(x11,x22) und (x12,x22) sind Nash-Gleichgewichte mit Auszahlung 80.
Sequentielles Gleichgewicht: Spieler A kann jede beliebige gemischte Kombination zwischen x11 und x12 spielen.Das sequentielle Gleichgewicht unterstellet, dass nur in der Vergangenheit Fehler auftraten können, in der Zukunft verhalten sich alle optimal.
Trembling-Hand-Ansatz: Spieler A berücksichtigt, dass Spieler B mit einer Wahrscheinlichkeit p einen Fehler macht und x21 spielt. Unter diesem Umstand zieht es a vor sich die Auszahlung von 80 zu sichern und spielt x11.
Wir erhalten also in dem nicht generischen Fall a=80 unterschiedliche Ergebnisse.
1 Fall: a > 80: (x11,x22) ist einziges sequentielles und perfektes Gleichgewicht.
2 Fall: a < 80: (x12,x22) ist einziges Gleichgewicht mit diesen eigenschaften.

In generischen Spielen führen die beiden ansätzen zu gleichen Ergebnissen.
2)

   x11             x21           x31
 A-----------B-----------A-----------o
 |x12        |x22         |x32
 |           |           |
 |           |           |
 |           |           |
(8,8)      (2,0)      (0,-10)

(x11,x21,x31) ist einziges teilperfektes Gleichgewicht.
(x12,x22,x32) sit Trembling-Hand-perfektes Gleichgewicht: annahme Spieler A macht mit Wahrscheinlichkeit p2 einen Fehler (x11,x31) und mit Wahrscheinlichkeit p den Fehler (x11,x32).
=> Sobald A einen Fehler macht, wird die Wahrscheinlichkeit größer, dass er wieder einen begeht. Für p geht die bedingte Wahrscheinlichkeit für x32: p/(p+p2) gegen 1.Für B wäre es also optimal x22 zu spielen. A wählt daher x12. (x12,x22,x32) ist kein seguentielles Gleichgewicht.Wenn der Fehler x11 passiert sein sollte, dann nimmt Der Spieler B an, dass zukünftige Fehler unabhängig von vergangenen erfolgen. Spieler A spielt also nur mit Wahrscheinlichkeit p den falschen Spielzug x21. Für B ist es demnach optimal x21 zu spielen. A spielt zu Beginn also x11.

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