Veranstaltung2004:Übungen

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Inhaltsverzeichnis

Übungsaufgabe vom 20.04.2004

Untersuchen Sie alle 2-Personenspiele mit |S1|=|S2|=2 auf Nash-Gleichgewichte.

Zusatz

Klassifizieren Sie alle symmetrischen Spiele auf ihre "Auswirkung". Welche/Wieviele "Typen" sind zu unterscheiden?

Abgabe: Dienstag, 27.04.04 um 9.00h im Joint Account.

Übungsaufgabe vom 27.04.2004

Geben Sie Beispiele fuer iterierte Elimination durch (strikte) Dominanz bei endlich vielen Schritten.
D.h. geben Sie ein Beispiel fuer Satz 1 und 2 aus der Lektion 2 (siehe unten), sowie ein Beispiel, das zeigt, dass bei der iterierten Elimination druch (strikte) Dominanz der resultierende Strategieraum nicht ein-elementig ist.

Satz 1 und (2) aus Lektion 2

Wenn bei der iterierten Elimination durch strikte Dominanz bei endlich vielen Schritten der Strategieraum ein-elementig ist, so ist das eine Element das (eindeutige) Nash-Gleichgewicht.


Abgabe: Dienstag, 04.05.04 um 16.00h im Joint Account.
(Wie die Abgabe erfolgt, wird spaetestens in der Vorlesung bekannt gegeben.)

Übungsaufgabe vom 11.05.2004

Geben Sie Gegenbeispiele für den Satz von Glicksberg, siehe dafür Existenz von Nash-Gleichgewichten. Im besten Falle drei Beispiele, jedes davon verletzt eine der drei Bedingungen des Satzes und hat kein Nash-Gleichgewicht.
Finden Sie ein Beispiel eines 2-Personenspiels mit einem eindeutigen Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien, so dass dieses Gleichgewicht nur aus reinen Strategien besteht. Die Hinzunahme der gemischten Strategien bringt also kein weiteres Nash-Gleichgewicht!

Abgabe: Dienstag, 18.05.04 um 16.00h im Joint Account.

Übungsaufgabe vom 18.05.2004

  1. Zum Spiel Allocation (siehe Vorlesung)
    1. Bestimmen Sie alle Nashgleichgewichte
    2. Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Nashgleichgewichte (Hinweis: ((2,0),J.J.J) und ((1,1),N.J.J) sind teilspielperfekte Nash-Gleichgewichte)
    3. Interpretieren Sie das Spiel und die jeweiligen Nash-Gleichgewichte
  2. Zum wiederholten Spiel Allocation (siehe Vorlesung)
    1. Bestimmen Sie alle Nashgleichgewichte
    2. Bestimmen Sie alle teilspielperfekten Nashgleichgewichte
    3. Interpretieren Sie das Spiel und die jeweiligen Nash-Gleichgewichte
  3. Es gilt für das Verhandlungsspiel von Rubinstein (siehe Vorlesung) zu zeigen:
    1. Das in der Vorlesung dargestellte Strategienpaar, das zu einem beliebigen s aus [0,1], den Wert s als Ergebnis hat, ist jeweils ein Nash-GG.
    2. Dieses Nash-GG ist aber kein teilspielperfektes Nash-GG. Ansatz: Ausgehend von dem Knoten, der durch den Vorschlag s + e, e > o, in der ersten Runde erreicht wird, hat man ein Teilspiel bestimmt, für das die Restriktionen der Strategien kein Nash-GG sind (zumindestens dann, wenn e klein genug ist und wenn die Diskontfaktoren kleiner als 1 sind).

Übungsaufgabe vom 25.05.2004

  1. Man beweise für das Bertrand-Oligopol von n Firmen mit homogenem Produkt, dass bei unendlicher Iteration die Triggerstrategie zu einem Preis p aus dem Intervall [c,M] ein Nash-GG ist, wenn als Diskontfaktor ein Wert oberhalb von 1 - 1/n genommen wird.
    (c = Grenzkosten, M = erster Monopolpreis)
    • Man zeige das analoge Ergebnis auch unter der Annahme, dass die Triggerstrategie jeweils nur mit einer Verzögerung von k Runden einsetzen kann, wenn jetzt der Diskontfaktor oberhalb der (k+1)-ten Wurzel von 1 - 1/n genommen wird.
    • Interpretation des letzten Resultats als Hinweis, dass Offenlegung (von Verträgen) keineswegs immer den Wettbewerb fördern muss.!
  2. Neues Basisspiel: 10 Studenten können jeder bis zu 1 EURO einsetzen. Die Summe aller Einsätze wird verfünffacht und der sich ergebende Betrag wird an alle 10 zu gleichen Teilen verteilt. Man bestimme alle Nash-Gleichgewichte!
    • Im unendlich oft iterierten Spiel: Welche Auszahlungen für jeden Spieler lassen sich mit einem Nash-GG (bei geeigneter Diskontierung) erzielen? Man untersuche die entsprechende Triggerstrategie und versuche auch andere Nash-GG zu finden.
    • Man versuche sich an demselben iterierten Spiel mit dem Durchschnittskriterium anstelle der Diskontierung!

Abgabe: Donnerstag, 3.6.04, 16 Uhr im Joint Account.

Übungsaufgabe vom 08.06.2004

  1. Man diskutiere die folgende Erweiterung des Falke-Taube-Spiels: Es werde ein weiterer Typ (eine weitere reine Strategie) A hinzugefügt, die sich folgendermaßen verhält: Trifft sie auf einen Akteur der Population in dessen Territorium, so verhält sie sich wie T (Taube), wird sie auf eigenem Territorium angetroffen, so verhält sie sich wie F (Falke). Außerdem soll das Aufeinandertreffen von T auf T mit einem Abschlag D versehen werden (D > O), so dass die entsprechende Auszahlung jetzt 1/2V - D ist. Vorschlag:
                             F           T          A

                    F     1/2(V-C)       V      1/4(3V-C)
                    T       0       1/2(V-2D)   1/4(V-2D)
                    A     1/4(V-C)  1/4(3V-2D)    1/2V

Aufgaben:

    • Interpretation, evtl. Varianten mit Interpretation.
    • Für welche Werte von D (bzw. D, V, C) ist die reine Strategie eine evolutionär stabile Strategie?
    • Vergleich mit asymptotisch stabilen Strategien.
    • Weitere Fragestellungen in diesem Umfeld.
  1. Man beweise: Bei einem 2x2-Basisspiel sind die evolutionär stabilen Strategien genau die asymptotisch stabilen Gleichgewichte.

Übungsaufgabe vom 15.06.2004

  1. Man variiere das in der Lektion 8 vorgestellte Kooperationsspiel (und diskutiere die Modellierung, die Bedeutung, die Analyse und die Interpretation), u.a.:
    • Spezialfall "Entwicklungspartnerschaft" mit einer Resultatsfunktion R, die von einer Treppenfunktion kommt,
    • Spezialfall "Supply Chain", bei der R verschwundet, wenn nicht jeder einen vorher festgelegten Minimalbetrag liefert,
    • R mit gemischten Termen eiej,
    • ... .
  2. Man zeige, dass das Spiel "Trust and Control in Networks" für genügend grosse Kontrollparameter α ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht ist, obwohl es keine evolutionär stabile Strategie ist.


Abgabe: Donnerstag, 24.06.04

Übungsaufgabe vom 22.06.2004

  1. Spiel80: Man gebe ausführliche Erklärungsvorschläge, warum in zahlreichen Experimenten, die Spieler nicht das Nash-Gleichgewicht 0 wählen, man verwende insbesondere die Ergebnisse in unserem Spielverlauf. Als Erklärung ist auch an eine Modifikation des Spiels gedacht - gegebenenfalls mit Parametern -, die ein Gleichgewicht hat, das den tatsächlichen Resultaten näher kommt (siehe nächste Aufgabe).
  2. homo egualis: Ein Erklärungsversuch für die Diskrepanz zwischen den Nash-Gleichgewichten und den experimentellen Befunden bei Ultimatumspiel, Kollektivgutspiel u.a. stellt darauf ab, dass die Spieler versuchen, die Auszahlungen anzugleichen, sie also gleichzumachen. Dieser Ansatz lässt sich folgendermaßen modellieren: Jedem Spieler k eines Basisspiels mit n Spielern werden Verhaltensfaktoren αk und βk (0 < βk < 1 und βk < αk )zugeordnet, und das Spiel wird durch die folgenden neuen Auszahlungen modifiziert:

 u_k(x_1,x_2, ... ,x_n) := x_k - {\alpha_k \over {n-1}} \sum_{x_j>x_k}(x_j-x_k) - {\beta_k \over{n-1}} \sum_{x_j<x_k}(x_k-x_j)

wobei die xi für die Auszahlungen des Basisspiels stehen.

  • Für das Ultimatumspiel zeige man, dass es einen Wert z < 1/2, 0 < z, gibt, so dass gilt:

Im Falle β1 > 1/2 (resp. β1 = 1/2; resp. β1 < 1/2) ist durch das Angebot x = 1/2 (resp. x mit z < x < 1; resp. x = z) von Spieler 1 und das Akzeptieren des Angebots durch Spieler 2 ein Nash-GG gegeben (oder ähnlich, evtl. sollte man alle Koeffizienten αi beschränken).

  • Für das Kollektivgutspiel x_k = {C \over n} \sum_{j=1}^n e_j - e_k, 1 < C < n, zeige man,
    1. dass für einen Spieler k mit βk < 1 - C/n die Strategie ek = 0 nach wie vor eine dominante Strategie ist.
    2. dass in Abhängigkeit davon, wieviele der Spieler einen Koeffizienten βk < 1 - C/n haben, die Trittbrettfahrerstrategie (ej = 0 für alle) ein Nash-GG ist oder alternativ eine Strategie, in der einige der Spieler vollen Einsatz bringen: Sind es mehr als 1/2(1 - C/n) Spieler mit dem niedrigen Koeffizienten, so muss e = 0 gespielt werden, sind es weniger, so hat man ein Nash-GG mit einigen Einsätzen 0 und anderen E ( = voller Einsatz) (oder ähnlich).
  • Man analysiere die beiden Spiele mit den neuen Auszahlungsfunktionen weiter, oder versuche sich an anderen Spielen, oder modifiziere die Modifikation weiter (mit Interpretation!).

Abgabe: Donnerstag, 01.07.04

Übungsaufgabe vom 29.06.2004

  1. Man beschreibe ausführlich, wie ein Bayes-Spiel mit endlichem Strategieraum S und endlichem Typenraum T als ein Spiel in Normalform verstanden werden kann, um daraus herzuleiten, dass ein solches Spiel stets ein Bayes-Gleichgewicht hat. Verallgemeinerungen?
  2. Markteintritt nach Vorlesung:
    • Man diskutiere das Beispiel für die Kostenpaare α = 3 und α' aus dem Intervall [-2,4] (in der Vorlesung haben wir α = 3 und α' = 0 diskutiert), sowie für die Kostenpaare α = 0 und α' aus [-2,4] und finde wie in der Vorlesung alle 'Nash-Gleichgewichte'.
    • Man vergleiche mit den abstrakten Definitionen: Handelt es sich um Bayes-Gleichgewichte in der vorangehenden Aufgabe?
    • Man untersuche den Fall von 3 verschiedenen Typen α < α' < α*, oder auch mehr Typen von Spieler 1. Vergleich mit der allgemeinen Formulierung.
    • Modellierung mit Typenmenge [-2,4] (oder anderes Intervall) ? Welche Wahrscheinlichkeiten auf dem Intervall ? Bayes-Gleichgewichte! Evtl. Diskretisierung durch Zerlegung des Intervalls.
    • Modellierung mit gleichzeitigen Kosten β beim Herausforderer (Spieler 2), die der Monopolist (Spieler 1) nicht kennt: Vergleich mit der allgemeinen Formulierung und Bestimmung der Bayes-Gleichgewichte. Mit Auszahlungen beispielsweise wie in der folgenden Tabelle oder ähnlich (in den vorangehenden Beispielen ist β = 1):
                      2
E NE
   1     B    3 - α , -1 - β        7 - α , 0     
NB       4 , 3 - β          6 , 0 


Abgabe: Donnerstag, 08.07.04

Übungsaufgabe vom 06.07.2004

  1. Zum Handelskettenspiel aus der Lektion 11 von heute:
    • Man gebe eine komplette und ausführliche Formulierung des Spiels in Bayes-Form (mit unvollständiger Information).
    • Man formalisiere das Konzept eines Gleichgewichts, zu dem die Wahrscheinlichkeiten von Runde zu Runde gegebenenfalls noch angepasst werden können.
    • Man formuliere das Spiel unter Berücksichtigung eines Diskontfaktors für den Monopolisten.
    • Man erweitere das Spiel noch um je eine zweielementige Typenmenge für jeden Konkurrenten, der in den Markt eintreten möchte (mit entsprechend veränderter Auszahlung).
  2. Man führe bei einem Spiel eigener Wahl unvollständige Information ein, und diskutiere bzw. analysiere das Spiel und nach Möglichkeit seine Lösungen (Kandidaten z.B.: Jobvermittlung, Stackelberg-Duopol mit je 2 Typen, Falke und Taube, BoS, Rubinstein, ... ).

Abgabe: Donnerstag, 15.07.04

Übungsaufgabe vom 13.07.2004

Das Spiel "Preis als Qualitätssignal" ausführlich analysieren und weiterführen:

  • Man beschreibe das Spiele als Signalspiel im Sinne der formalen Definition.
  • Man zeige, dass die in der Vorlesung vorgestellten Trenn- und Pooling-Gleichgewichte perfekte Bayes-Gleichgewichte im Sinne der Definition sind.
  • Es gibt weitere Trenn-Gleichgewichte mit einem Preis unterhalb von cN, wenn die Qualität H hoch genug ist.
  • Man führe einen Diskontfaktor für die 2. Runde ein und analysiere das Spiel, vor allem im Hinblick auf Pooling- und Trenn-Gleichgewichte.

Abgabe: Donnerstag, 22.07.04

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