Veranstaltung2008/9:Übungsaufgaben

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Inhaltsverzeichnis

1 Blatt 1
2 Blatt 2
3 Blatt 3
4 Blatt 4
5 Blatt 5
6 Blatt 6
7 Blatt 7
8 Blatt 8
9 Blatt 9
10 Blatt 10
11 Blatt 11
12 Blatt 12
13 Blatt 13
14 Blatt 14

Blatt 1

Aufgabe 1
a) Man zeige, dass es in einem Normalformenspiel höchstens ein Gleichgewicht in strikter Dominanz geben kann.
b) Man gebe ein Beispiel eines Spieles mit injektiver Nutzenfunktion, das mehrere Gleichgewichte in schwacher Dominanz besitzt.
c) Man zeige, dass ein Gleichgewicht in (strikter oder schwacher) Dominanz stets auch ein Nash-Gleichgewicht ist.
d) Man gebe ein Beispiel eines Spiels mit einem Nash-Gleichgewicht, das kein Gleichgewicht in schwacher Dominanz ist.

Aufgabe 2
a) Zu einem Normalformenspiel mit Strategieraum S entsteht durch die Elimination einer strikt dominierten Strategie ein Spiel mit Strategieraum S'. Man zeige, dass die beiden Spiele dieselbe Menge von Gleichgewichten in strikter Dominanz haben.
b) Aus dem ursprünglichen Spiel entstehe durch endlich oft iterierte Elimination von strikt dominierten Strategien ein Spiel mit Strategieraum S*, in dem es keine strikt dominierten Strategien gibt. Ist dann S* einelementig, so ist dieses Element das Gleichgewicht in strikter Dominanz des ursprünglichen Spiels.
c) In einem Normalformenspiel mit endlichem Strategieraum, das ein Gleichgewicht in strikter Dominanz besitzt, wird dieses mit der iterierten Elimination nach b) bestimmt.
d) Man gebe ein Beispiel, in dem bei Elimination einer schwach dominierten Strategie ein Gleichgewicht in schwacher Dominanz eliminiert wird.
Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 23.10.2008, 14 Uhr.

VORSICHT: Bei der Aufgabenstellung werden leider Fehler gemacht. Die wichtige Aussage c) ist o.k., aber in a) und b) stimmen die Aussagen nur für Nash-Gleichgewichte. Es genügt, c) und d) behandelt zu haben. Vorsicht auch bei d)!

Blatt 2

Aufgabe 3
Analog zur Elimination durch strikt dominante Strategien lässt sich auch ein Verfahren der Elimination durch schwach dominante Strategien einführen (bei endlichen Spielen in Normalformen). Natürlich wird auch dieses Verfahren nicht immer anwendbar sein.

Das Verfahren soll beschrieben werden.
Welche Aussagen aus der Vorlesung lassen sich vom strikten auf den schwachen Fall übertragen?
Man gebe das Beispiel eines Spieles mit mehreren Nashgleichgewichten, bei dem durch das Verfahren der Elimination durch schwach dominante Strategien ein 'schlechtes' Nash-GG als Resultat der iterierten Elimination herauskommt. Kann das im strikten Fall passieren?
Man gebe das Beispiel eines Spieles, das bei dem Verfahren der Elimination durch schwache Dominanz zu verschiedenen Nashgleichgewichten führt.

Aufgabe 4
Man modelliere die folgende Entscheidungssituation durch ein Spiel mit zwei Spielern und den Strategiemengen $S 1 = S 2 = {K, G}:$ . Wählen beide unterschiedliche Strategien, so haben sie den gleichen positiven Gewinn. Wählen sie beide die Strategie K (klein), so ist der Gewinn doppelt so hoch, und im Falle, dass sie beide 'groß' (also G) wählen, erzielen sie sogar den dreifachen Gewinn.

Man untersuche das Spiel auf Dominanz und auf Nash-Gleichgewichte.
Man nennt den Übergang von einem Nash-GG zu einem anderen eine Pareto-Verbesserung, wenn alle Spieler sich nicht verschlechtern. Ein Nash-Gleichgewicht heißt Pareto-optimal, wenn es keine echte Pareto-Verbesserung gibt, die von diesem Nash-GG ausgeht.
Man untersuche das Spiel auf Pareto-Verbesserung und auf Pareto-optimale Strategien.
Man interpretiere das Spiel (Vorschlag: 'Standardisierung'). Man diskutiere alle Ergebnisse ausführlich, insbesondere in der gewählten Interpretation. Welche Strategie wird als die Beste gewählt?
Variante: Bei unterschiedlicher Strategiewahl möge der Spieler, der K gewählt hat, keinen Gewinn machen. Ansonsten bleibt alles wie zuvor. Was ändert sich an den Ergebnisseen? Wird ganz sicher dieselbe Strategie gespielt oder gibt es neue Gesichtspunkte?

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 30.10.2008, abends.

Blatt 3

Aufgabe 5
Man beschreibe das folgende Spiel eines einfachen Marktmodells: Ein Produkt werde in einer Kleinstadt von zwei Kaufleuten angeboten, die täglich neue Preise festlegen. Dabei kommen nur drei verschiedene Preise vor. Der Kaufmann mit dem niedrigeren Preis hat einen Gewinn, der um eine Einheit höher liegt als sein Konkurrent, wenn er den niedrigsten Preis festgesetzt hat, und einen Mehrgewinn von 2 Einheiten, wenn er den mittleren Preis gewählt hat. Haben beide den gleichen Preis gewählt, so haben sie den gleichen Gewinn. Jeder der beiden schätzt den Gewinn des anderen als seinen Verlust ein.

Man bestimme die Auszahlungsmatrix.
Man bestimme ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien und verifiziere 'Maximierung der Minima' für diesen Fall.
Man bestimme 'Maxmin' für die gemischte Erweiterung.
Man untersuche das erweiterte Spiel auf weitere Nash-Gleichgewichte.

Aufgabe 6
Ein Normalformenspiel mit 2 Spielern heißt symmetrisch, wenn die Strategiemengen übereinstimmen ( $S 1 = S 2$ ) und wenn für alle $s\in S=S_1\times S_2$ stets $u 1 (s 1, s 2) = u 2 (s 2, s 1)$ gilt. Im Falle endlicher Strategiemengen $S_1=\{s^1,s^2, \ldots s^m\} =S_2$

beschreibe man, unter welchen Bedingungen an die Auszahlungsmatrizen $U k = (u k (s i, s j))$ das Spiel symmetrisch ist, und
unter welchen Bedingungen an die Auszahlungsmatrizen das Spiel ein symmetrisches Nullsummenspiel ist.
Man zeige außerdem, dass im letzten Fall die gemischte Erweiterung den 'Wert' 0 hat. (Der Wert eines Nullsummenspiels für zwei Personen mit einem Nash-Gleichgewicht s* ist die Zahl $u 1 (s * )$ , die ja nach Satz unabhängig ist von der Wahl von s*.
Hat jedes endliche, symmetrische Nullsummenspiel für 2 Spieler ein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien?

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 6.11.2008, abends.

Blatt 4

Aufgabe 7
Gegeben sei das Spiel mit N Spielern, die nacheinander je einmal ziehen: 1 als Erster mit der Wahl zwischen S, dann ist das Spiel zu Ende und alle Spieler erhalten die Auszahlung A > 0, und F, dann ist Spieler 2 an der Reihe. Ebenso hat Spieler n < N die Wahl zwischen S, dann ist das Spiel zu Ende und alle Spieler erhalten die Auszahlung A/n > 0, und F, dann ist Spieler n+1 an der Reihe. Der letzte Spieler N hat die Wahl zwischen S mit Auszahlung A/N für alle und E mit der Auszahlung 2A für alle.

Man beschreibe das Spiel durch explizite Angabe von M, H, j und u.
Man analisiere verschieden Spielverläufe und bestimme eine 'optimale Strategie', das heißt hier eine Vorgabe, was jeder ziehen soll, um für sich das Beste herauszuholen.
Man transformiere (wenn gewünscht für den Fall von N=3 zur Vereinfachung) das Spiel in ein Normalformenspiel wie bei dem Spiel 'Kleiner Affe - großer Affe', und man bestimme alle Nash-Gleichgewichte.
Man vergleiche mit der gefundenen optimalen Strategie. Man diskutiere und interpretiere das Resultat.

Wie immer: Man untersuche Varianten. Zum Beispiel eine Variante, in der jeder Spieler mehrfach am Zug ist, oder auch eine mit Spielern, die unendlich oft am Zug sein können; jeweils mit angepassten Auszahlungen, die nicht identisch sein müssen wie in dem vorgegebenen Spiel.

Aufgabe 8
Man bestimme für das Oligopol mit N Anbietern beim Wettbewerb über die Angebotsmenge (mit

u k (q) = (P - C - q 1 - q 2 - ... - q N) q k

wie beim Cournot-Oligopol) den Spielbaum H für den Fall, das zunächst 1, dann 2, etc. und zum Schluss N ziehen (Stackelberg). Wie sieht die optimale Strategie für die Anbieter aus? Was ändert sich, wenn die Grenzkosten $C k$ für die Anbieter unterschiedlich sind? Wie kann man den Fall einbauen, dass einige der Anbieter doch gleichzeitig ziehen?

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 13.11.2008, abends.

Blatt 5

Aufgabe 9
Gegeben sei das Nim-Spiel mit 6 Streichhölzern zu Beginn. Jeder der zwei Spieler zieht abwechselnd, indem er 1, 2 oder 3 Streichhölzer vom Stoß nimmt. Gewonnen hat der Spieler, der den letzten Zug macht, bzw. verloren hat der, der nicht mehr ziehen kann. 'Gewonnen' werde mit der Auszahlung 10 und 'Verloren' mit der Auszahlung 0 belegt.

a) Analog zur Behandlung des entsprechenden Spiels in der Vorlesung beschreibe man dieses Spiel ausführlich als ein extensives Spiel, insbesondere durch explizite und vollständige Angabe der Menge H der Historien und ihrer Visualisierung als Spielbaum, und der Funktionen P und u.
b) Sodann verkürze man den Spielbaum bzw. H durch Streichen der überflüssigen Aktionen in allen einelementigen Aktionsmengen A_h, $h\in E$ .
c) Man bestimme sämtliche Nash-Gleichgewichte.
d) Man bestimme die teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte. Welche dieser Gleichgewichte geben wirklich Sinn?
e) Als Variante studiere man das Spiel mit derselben Spielstruktur aber mit der in folgender Weise veränderten Auszahlung: 'Gewonnen' bringt 10 - Länge der Historie; 'Verloren' bringt 2 - Länge der Historie.
f) Evtl. weitere Varianten durch Veränderung der Auszahlung, zum Beispiel durch Umdrehen der Gewinn-Regel: Gewonnen hat der, der den vorletzten Zug macht.

Aufgabe 10
Gegeben sei ein Spiel G = (M,H,P,u) in extensiver Form mit vollkommener Information. Zu jeder Historie h aus H werde das Teilspiel, das bei h beginnt, mit G(h) bezeichnet. Für eine Strategie s_k (bzw. Nutzenfunktion u_k) zum Spiel G werde die Restriktion auf G(h) mit s_k|_h (bzw. u_k|_h) bezeichnet.
G habe einen endlichen Horizont, d.h. alle Historien h aus H sind endliche Folgen.
Man beweise ausführlich die folgende Aussage für eine Strategiekombination s* im Spiel G:
s* ist genau dann teilspielperfekt, wenn für alle h aus H und alle k aus M mit P(h) = k gilt: Für alle Strategien s_k des Spielers k in dem Teilspiel G(h), die sich von s*_k|_h - wenn überhaupt - lediglich auf der Aktionsmenge A_h unterscheiden, ist stets die Ungleichung

u_k|_h(s*|_h) = u_k|_h(s*_k|_h,s*_-k|_h) ≥ u_k|_h(s_k,s*_-k|_h)

erfüllt. (Diese abgeschwächte Form der Eigenschaft eines teilspielperfekten Nash-Gleichgewichts nennt man im Englischen, die one deviation property.)

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 20.11.2008, abends.

Blatt 6

Aufgabe 11
Man führe die bestimmung von teilspielperfekten Nash-Gleichgewichten mittels der Elimnation durch Dominanz (Rückwärtsinduktion) bei dem folgenden Spiel mit 2 Spielern komplett durch:
1 zieht zunächst mit drei Aktionsmöglichkeiten L, M, R . Dann sei 2 jeweils am Zug mit L, M, R . Das Spiel ist beendet bei (R,X) oder (M,X). Schließlich werde das Spiel beendet, wenn 1 bei (L,X) unter den Aktionen L oder R auswählt (X = L, M, R) . Die Auszahlungen sind:

u(L,L,L) = (2,1) ; u(L,L,R) = (1,2)

u(L,M,L) = (1,1) ; u(L,M,R) = (1,1)

u(L,R,L) = (1,2) ; u(L,R,R) = (2,1)

u(M,L) = (0,0) ; u(M,M) = (0,1) ; u(M,R) = (1,1)

u(R,L) = (2,2) ; u(R,M) = (1,2) ; u(R,R) = (0,10)

Werden auf diese Weise in diesem Spiel alle teilspielperfekten Nash-Gleichgewichte erreicht? Gilt das allgemein für endliche Spiele?

Gibt es in diesem Spiel noch weitere Nash-Gleichgewichte und welche?

Welche Spielzüge (Aktionen) lassen sich von vornherein durch strikte Dominanz eliminieren?

Aufgabe 12
In einem Verhandlungsspiel mit 3 Spielern 1,2 und 3 geht es darum, $I = [0,1]$ aufzuteilen. Die möglichen Verhandlungsergebnisse werden durch die Menge

$Q = \{(q_1, q_2, q_3) : q_i\in I\,,\, q_1 + q_2 + q_3 = 1 \}$

repräsentiert. Die Nutzenfunktionen in Abhängigkeit von den Verhandlungsrunden n aus T = {1,2,3, ...} sind

u i (q, n) = δ n - 1 q i

mit dem Diskontfaktor $\delta\,,\, 0 < \delta < 1$ . Die Verhandlungsprozedur läuft folgendermaßen ab:
Als Erstes macht 1 in der Runde 1 einen Vorschlag aus Q .
In der Runde n sei der Spieler j am Zug, und es sei q aus Q sein Vorschlag. Dann kommt (j + 1)mod 3 an die Reihe mit der Möglichkeit abzulehnen oder zu akzeptieren. Im Falle, dass er akzeptiert hat, kommt (j + 2)mod 3 zum Zug mit mit der Möglichkeit abzulehnen oder zu akzeptieren. Haben beide akzeptiert, so endet das Spiel mit dem Ergebnis q. Andernfalls beginnt die Verhandlungsrunde n + 1 damit, dass jetzt der Spieler (j + 1)mod 3 an der Reihe ist, einen Vorschlag zu machen. Kommt es zu keinem Erebnis nach endlich vielen Runden, so ist die entsprechende unendliche Folge von Spielzügen das Ergebnis mit dem Nutzen $u = 0$ .

Man modelliere das Spiel in extensiver Form mit genauer Angabe von H, P, u .

Man bestimme eine Reihe von Nash-Gleichgewichten.

Man zeige für $δ > 1 / 2$ : Zu jedem Vorschlag q gibt es ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, welches unmittelbar zur Akzeptanz von q führt.

Was ist die Bedeutung dieses Resultats?

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 27.11.2008, abends.

Blatt 7

Aufgabe 13
Man zeige, dass für endlich oft iterierte Spiele $\hat G_L(\delta)$ zu einem Basisspiel $G$ die Anzahl der Nash-Gleichgewichte mit abnehmenden $δ$ in der Regel abnimmt, indem man für ein explizites Beispiel $G$ eigener Wahl ausführlich zeigt: Es gibt $0 < δ 1 < δ 2 < 1$ und $L > 0$ , so dass das iterierte Spiel $\hat G_L(\delta_i)\,, \,i=1,2,$ genau $\nu_i \in \mathbb N$ Nash-Gleichgewichte mit $0 < ν 1 < ν 2$ hat.
Man zeige außerdem, dass stets $0 < \nu_1 \leq \nu_2$ gilt, wenn die Anzahl der Nash-Gleichgewichte überhaupt endlich ist. Wenn es einfacher wird, kann man gerne annehmen, dass das Basisspiel endlich ist.
Vorsicht: Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen, diese Aussagen ist nicht allgemein gültig.

Aufgabe 14
Man beweise ausführlich den Satz aus der Vorlesung: Sei G=(M,S,u) ein Basisspiel, für das die Menge N der Nash-Gleichgewichte nichtleer ist und sei $\delta \in ]0,1[$ : Jede Abbildung

$s : E \to N\subset S$

ist dann ein Nash-Gleichgewicht zu dem iterierten Spiel $\hat G_T(\delta)\,, \, T\in \{L,\infty\}$ . Dabei ist

$E= \{\emptyset\}\cup \bigcup_{n=1}^T S^n$

die Menge der Entscheidungshistorien.
Falsch: Das ist nur richtig mit geeigneten Zusatzvoraussetzungen.

Aufgabe 14b
(Ergänzungsaufgabe) Man beschreibe formal ausführlich und vollständig eine Spielform, in der die Spieler mehrfach nacheinander, aber in (wechselnden) Gruppen jeweils simultan am Zug sind durch eine Menge von Folgen. Und zwar so, dass im Falle, dass die 'Gruppen' jeweils immer einelementig sind, sich die uns bekannte Spielform eines extensivesn Spieles ergibt.

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 4.12.2008, abends.

Blatt 8

Aufgabe 15
Durch die folgende Auszahlungsmatrix wird ein Basisspiel G in Normalform gegeben (Beförderungsrennen):

	V	A
V	4, 4	1, 6
A	6, 1	-3, -3

Für das unendliche oft iterierte Spiel G(δ) mit 0 < δ < 1 zeige man:

t* = (t,t) ('Tit for Tat') ist ein Nash-GG, falls δ ≥ 2/3. Dabei ist für Spieler 1 die Strategie t folgendermaßen gegeben:

t(Ø) := V und für

h = (a¹, a², ... aⁿ) mit aⁿ = (x,y) ist t(h) := y (Analog für Spieler 2).

Und für δ < 2/3 ist t* kein Nash-Gleichgewicht.

t* ist nicht teilspielperfekt.
Die modifizierte 'Tit for Tat'-Strategie t' ist ein teilspielperfektes Nash-Gleichgewicht, falls δ ≥ 2/3.
Im Falle δ ≥ 0,4 ist die 'Triggerstrategie' t' ' ein Nash-Gleichgewicht.
Man beschreibe alle drei Strategien durch Maschinen.

Aufgabe 16
Bei dem Spiel aus 15:

Haben die Strategien eine Chance, im endlich oft iterierten Spiel ein Nash-Gleichgewicht zu sein?
Eine weniger heftig strafende Strategie ist die folgende Strategie: Für Spieler 1 setze p(Ø) := V und mit h = (a¹, a², ... aⁿ) setze p(h) := V , wenn aⁿ = (A,A) oder (V,V) andernfalls p(h) := A . Auch diese Strategie liefert ein (teilspielperfektes?) Nash-GG p* = (p,p) für geeignete δ. Interpretation?!
Was ist der Unterschied in den Ergebnissen h(s*) in den 4 Strategien? Was ist der Unterschied der Strategien? Was ist der Unterschied in der Auszahlung? Wie lässt sich das verstehen?
Vergleich mit Folk Theorem I?
Man diskutiere die verschiedenen vorgestellten Strategien auf ihre Bedeutung für die Interpretation von Verhaltensweisen in entsprechenden Konfliktsituationen.

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 11.12.2008, abends.

Blatt 9

Aufgabe 17
Wir betrachten ein unendlich oft iteriertes Spiel $\hat G_\infty(\delta)$ zu einem Basisspiel G=(M,S,u) mit der Eigenschaft, dass stets eine beste Antwort existiert (z.B. wenn der Strategieraum endlich ist oder wenn S kompakt und die Nutzenabbildung u stetig ist).

Im Falle von nur zwei Spielern M={1,2} bestimme man zu jeder Maschine von 2 (also jeder Strategie von 2) eine Maschine von 1, welche in jeder Runde mindestens das Sicherheitsniveau v₁ = min max u₁ als Auszahlung für 1 liefert, und damit insgesamt mindestens die Auszahlung $\frac {v_1} {1-\delta}$ sichert.
Man übertrage die Lösung von 1. auf den Fall von beliebig vielen Spielern.
Man gebe eine Klasse von Spielen an, für die es eine generelle 'Sicherheitsstrategie' s₁ für 1 gibt, die gegen alle Gegenstrategien immer mindestens das Sicherheitsniveau v₁ ergibt.

Aufgabe 18
Es sei G=(M,S,u) ein Basisspiel mit kompaktem Strategieraum S und stetigen Nutzenfunktionen u (z.B. kann G eine endliches Spiel oder die gemischte Erweiterung eines endlichen Normalformenspiels sein) und es sei δ ein fester Diskontfaktor. Es sei weiterhin (w^μ) eine Folge von Auszahlungsprofilen, so dass jedes w^μ als ein Auszahlungsprofil einer teilspielperfekten Strategiekombination s^μ des Spiels $\hat G_\infty(\delta)$ realisiert werde:

$\hat u (s^\mu)=(1-\delta)w^\mu.$

Man zeige: Wenn (w^μ) gegen w konvergiert (im Raum $\mathbb R^N$ ), so ist auch w Auszahlungsprofil einer teilspielperfekten Strategie.

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 18.12.2008, abends.

Blatt 10

Aufgabe 19
Durch eine m x m - Matrix A ist üblicherweise eine evolutionäre Entwicklung $x \mapsto x'$ für $x \in \Delta$ gegeben mit

$x'_\mu = x_\mu \frac {e_\mu^TAx}{x^TAx} \quad$ (Evolution durch relative Fitness),

wenn noch geeignete Bedingungen von der Bilinearform $x \mapsto x^TAx$ erfüllt sind (siehe nächste Aufgabe). Die zugehörige Evolution (diskrete Dynamik) ist dann durch die Folgen $(x(n))_{n\in \mathbb N} , \,\, x(n+1):= x(n)'$ mit dem Anfangswert $x(0) \in \Delta$ gegeben (auch 'Bahnen durch $x (0)$ ' genannt). Es sei $A = \begin{pmatrix} 1 & b \\ b & 2 \end{pmatrix} , b \in \mathbb R.$

Man bestimme die ESS und die symmetrischen Nash-GG in Abhängigkeit von $b \in \mathbb R$ . Man setze diese Ergebnisse in Relation zu den nachfolgenden Berechnungen und Untersuchungen.
Im Falle b = 1 beschreibe man den Verlauf der Bahn $(x(n))_{n\in \mathbb N}$ mit Anfangswert $x(0) = (\textstyle \frac 1 2,\textstyle \frac 1 2)$ . Man zeige danach, dass alle Bahnen $(x(n))_{n\in \mathbb N}$ mit $x(0) \neq e_1$ gegen $e 2$ konvergieren.
Im Falle b = 0 beschreibe man den Verlauf der Bahnen $(x(n))_{n\in \mathbb N}$ mit $x(0) = (\textstyle \frac 1 {10}, \textstyle \frac 9 {10})$ wie auch mit $x(0) = (\textstyle \frac 9 {10}, \textstyle \frac 1 {10})$ . Anschließend versuche man $\eta \in \Delta$ zu finden mit $x (n) = η$ konstant. Was ist mit den Bahnen $(x(n))_{n\in \mathbb N}$ zu den Anfangswerten $x(0) \in\,\, ]0,\eta[$ und zu $x(0) \in \,\, ]\eta,1[$ ?
Im Falle b = 3 bestimme man $\xi \in \Delta$ mit $x(n) \to \xi$ für alle Bahnen $(x(n))_{n\in \mathbb N}$ deren Anfangswerte im Inneren von $Δ$ liegen. Was hat das mit ESS zu tun?

Aufgabe 20
In dieser Aufgabe behandeln wir das Spiel Stein-Schere-Papier.

Man zeige, dass für die Strategie $p = (\textstyle \frac 1 3,\textstyle \frac 1 3,\textstyle \frac 1 3) \in \Delta$ das Profil (p,p) ein symmetrisches Nash-Gleichgewicht ist, und zwar das einzige.
Man beweise, dass p keine ESS ist.
Man zeige, dass $x T A x = 0$ für alle gemischten Strategien $x\in\Delta$ gilt.
Wegen 3. gibt die oben beschriebene übliche Evolution keinen Sinn. Ist

$x_\mu' := x_\mu (1+e_\mu^TAx)$ eine sinnvolle Alternative? Interpretation und Begründung!

5. Man beschreibe einige Bahnen bezüglich dieser veränderten Evolution zu verschiedenen Anfangswerten, insbesondere zu

x (0) = p

und zu Anfangswerten am Rande von

Δ

.

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 08.01.2009, abends.

Blatt 11

Aufgabe 21
Für die übliche Replikatordynamik zeige man im Falle des Spieles Stein-Schere-Papier:

Für jede Lösung der Replikatorgleichung $x (t)$ ist die Funktion $a (t): = x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t)$ eine Bewegungskonstante, das heißt es gilt $\dot a = 0$ .
Die Bahnen der Lösungen der Replikatorgleichung liefern im Raum $Δ$ der gemischten Strategien geschlossene Kurven. Man skizziere das Phasenprotrait.
Der Punkt $m= (\textstyle \frac 1 3,\textstyle \frac 1 3,\textstyle \frac 1 3)\in \Delta$ (der ja das symmetrische Nash-Gleichgewicht $(m, m)$ liefert), ist ein stabiles Gleichgewicht, aber nicht asymptotisch stabil.

Aufgabe 22
Zum symmetrischen Spiel mit der Auszahlungsmatrix

$A= \begin{pmatrix} 0 & 6 & -4 \\ -3 & 0 & 5 \\ -1 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

zeige man:

Das Zentrum $m= (\textstyle \frac 1 3,\textstyle \frac 1 3,\textstyle \frac 1 3)\in \Delta$ von $Δ$ ist wie in der vorangegangen Aufgabe ein Gleichgewicht.
$m$ ist asymptotisch stabil. (Hinweis: Man verwende das Kriterium mittels der Realteile der Eigenwerte, vgl. Stabilität.)
$e 1$ ist ESS.
$m$ ist nicht ESS.

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 15.01.2009, abends.

Blatt 12

Aufgabe 23
Die Hyperzyklusgleichung ist (im Falle von drei Strategien) die Replikatorgleichung zum symmetrischen Spiel mit der Auszahlungsmatrix

$A= \begin{pmatrix} 0 & 0 & k_1 \\ k_2 & 0 & 0 \\ 0 &k_3 & 0\end{pmatrix}$

für reelle Koeffizienten $k μ > 0$ . Man beweise:

Die zugehörige Replikatorgleichung hat genau ein dynamisches Gleichgewicht $x^*\in \Delta$ .
Dieses Gleichgewicht ist asymptotisch stabil. Es gilt sogar: Alle Lösungen x(t), die im Inneren von $Δ$ beginnen, erfüllen $\lim_{t\to\infty} x(t) = x^*\,,$ das heißt, x* ist global stabil.
Für einige Koeffizienten ist das Gleichgewicht x* eine ESS und für andere ist x* nicht ESS.

Bemerkung: Zu Teil 3 gebe man konkret jeweils geeignete Koeffiziententripel an oder man bestimme den genauen Bereich

$E = \{\, k \in \,\,]0,\infty[^3$ : x* ist ESS in der zu k gehörigen Replikatorgleichung

}

.

Aufgabe 24
Man analysiere die Dynamik zu dem Spiel (Variante zu Stein-Schere-Papier) mit der Auszahlung

$A= \begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a\end{pmatrix},$

mit $b > a > c \geq 0$ . (Gleichgewicht, Nash-GG, stabile und asymptotisch stabile GG).
Die Funktion

$h(x) = \frac {x^TAx}{x_1x_2x_3}\,\,,\, x \in \Delta\,,$

hilft; $a 2 - b c < 0$ ist der Bereich der asymptotischen Stabilität.

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 22.01.2009, abends.

Blatt 13

Aufgabe 25
Zu dem Spiel "Vertrauen in Netzwerken" mit der Matrix

$A= \begin{pmatrix} 1 & -2 & \kappa \\ 2 & -1 & 2(1-\kappa) \\ \kappa & -2(1-\kappa) & \kappa^2\end{pmatrix},$

wurde in der Vorlesung unter (14.20) eine gemischte Strategie $\overline x = \overline x (\kappa)$ ermittelt, die für einen reellen Parameter $\kappa\,, \textstyle \frac 5 7 < \kappa < 1$ , ein symmetrisches Nash-GG liefert. Man beweise, dass $\overline x = \overline x (\kappa)$ für genügend große $κ$ ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht der zugehörigen Replikatordynamik ist. (Es wurde gezeigt, dass die Strategie keine ESS ist.)

Aufgabe 26
Die allgemeine Lotka-Volterra-Gleichung zur Matrix $B = (b_{k\ell})$

$\dot y_k = y_k (r_k + \sum _{k=1}^n b_{k\ell}y_\ell)$

werde für $b_{k\ell} \geq 0$ für $k\neq \ell$ ("symbiotischer Fall") untersucht. Interpretation?

Sei $n = 2$ : Man zeige, dass im Falle det B < 0 stets unbeschränkte Lösungen existieren und dass es im Falle det B > 0 ein asymptotisches Gleichgewicht gibt. (Bemerkung: Bei geeigneter Wahl der Koeffizienten $r k$ liegt das Gleichgewicht im Bereich $]\,0,\infty[\,\times\,]\,0,\infty[ \,.$ )
Was passiert im Falle det B =0?
(Extrapunkte:) Man setze für $n > 3$ die Existenz eines Gleichgewichts $\overline y$ im Inneren von $[0,\infty [^n$ voraus und diskutiere algebraische Bedingungen an die Matrix B, welche sicherstellen, dass es sich um ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht handelt. Hinweise: Eigenwerte von B, Satz von Perron-Frobenius.
Wieder im Falle n = 2 wähle man ein assoziertes symmetrisches 2-Personen-Spiel mit 3 Strategien, so dass die zugehörige Replikatorgleichung äquivalent zur Lotka-Volterra-Gleichung ist (gerne mit einer konkreten Wahl der Parameter, z.B. $r_k = b_kk = -1\,,\, b_{12}=b_{21} = 2\,$ ). Man interpretiere das Spiel und analysiere die Replikatordynamik unter Verwendung der Ergebnisse aus 1.
Man führe die analoge Übertragung durch für die typische Lotka-Volterra-Gleichung

$\dot x = x(r-x-y)$

$\dot y = y (-s +x-y)\,,$

wobei $r> 0\,, s > 0\,.$ Man diskutiere Interpretation und Analyse dieses Spiels und analysiere die Replikatordynamik.

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 29.01.2009, abends.

Blatt 14

Aufgabe 27
Für das Kartenspiel bestimme man das eine Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien und zeige, dass es tatsächlich das einzige ist. Anschließend überprüfe man, ob das Nash-Gleichgewicht

teilspielperfekt, bzw.
perfekt, bzw.
sequentiell perfekt

ist.

Aufgabe 28
Man gebe explizit das Beispiel eines geeigneten extensiven Spiels ohne vollkommene Erinnerung an, in dem es eine gemischte Strategie gibt, zu der es keine äquivalente Verhaltensstrategie gibt. Man wähle das Beispiel so, dass man auch eine Verhaltensstrategie angeben kann, zu der es keine äquivalente gemischte Strategie gibt.

Abgabe (elektronisch) bis Donnerstag, 05.02.2009, abends.