Verhaltensstrategien

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Ein Verhaltensstragie ist - einfach gesagt - eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Handlungsalternativen, die jedem Spieler in den jeweiligen Entscheidungssituationen zur Verfügung stehen.

Im Falle eines Spiels in extensiver Form mit vollkommener Information:

Definition

Eine Verhaltensstrategie eines Spielers $i\in M$ ist eine Familie $b i (h)$ , $h\in E_i$ , von unabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Hierbei ist $b i (h)$ eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über A(h), wenn A(h) die Menge der möglichen Aktionen in der Entscheidungshistorie h ist. Mit $b i$ bezeichnen wir alle diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Schließlich ist $b = (b 1,..., b N)$ eine Kombination von Verhaltensstrategien mit $b i$ Verhaltensstrategie für Spieler $i\in M=\{1,2,...,N\}$ . Diese Kombination heißt Verhaltensprofil.

Im Falle eines Spiels in extensiver Form ohne vollkommener Information:

Definition

Eine Verhaltensstrategie eines Spielers k ∈ M ist eine Familie b_k(I), I ∈ P_k, von unabhängigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Hierbei ist b_k(I) eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über A(I), wenn A(I) die Menge der möglichen Aktionen in der Informationsmenge I der Informationszerlegung P_k ist. Mit b_k bezeichnen wir alle diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Schließlich ist b=(b₁, ... ,b_N) eine Kombination von Verhaltensstrategien mit $b i$ Verhaltensstrategie für Spieler $i\in M=\{1,2,...,N\}$ . Diese Kombination heißt Verhaltensprofil.
Dabei wird einem Verhaltensprofil b der folgende Erwartungswert und Ausgang zugeordnet:
$u(b) = u(z(b)) = \sum_{h \in Z}\beta(h)u(h)$
$z(b) = \sum_{h \in Z}\beta(h)h$
Dabei ist $h := (a^{1},\ldots ,a^{n} )$ und $\beta(h) = \prod_{\nu = 1}^{n}\beta_{\nu}(h_{\nu})$
mit $h_{\nu} := (a^{1},\ldots ,a^{\nu} )$
Dabei gilt es folgende beiden Fälle zu unterscheiden:

$h_{\nu - 1}\in E_0 :$

$β ν (h): = f (a ν | h ν - 1)$ , wobei $f (. | h)$ ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf A(h) ist und der Spieler 0 den Zufall repräsentiert.

$h_{\nu - 1}\in E_k, k\neq0 :$

$β ν (h): = b k (I)(a ν)$ mit $a^{\nu} \in A(I)$ und $h_{\nu - 1}\in I \in P_k$ und $\sum_{h \in Z}\beta(h) = 1$ , wobei $P i$ Informationszerlegung zu Spieler $i \in M$

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