Wahl

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Motivation

Es wird in den Medien immer wieder von Ausrichtungen einer Partei und deren Kandidaten gesprochen. Damit stellt sich für die Spieltheorie die Frage, ob es möglich ist durch die Wahl eines politischen Programms bzw. der Position eines Kandidaten einen Wahlgewinn zu erzwingen. Eine andere Betrachtungsweise ist, ob sich in einem Mehrparteiensystem jemals eine gleiche politische Ausrichtung herausbildet.

Die Idee zu diesem Spiel basiert auf Hotelling und Martin J. Osborne. Betrachtet wird zuerst ein Spiel zwischen 2 politischen Kandidaten, dieses wird auf 3 Kandidaten erweitert und am Ende soll in des Spiel mit 3 Kandidaten noch ein Kostenfaktor eingeführt werden.

Spielbeschreibung

Sei das politische Spektrum auf [0,1] festgelegt, wobei 0 die am weitesten linksgerichtete Einstellung beschreibt und 1 die am weitesten rechtsgerichtete Einstellung. Die Präferenzen der Politiker sind Gewinnen > Gleichstand > Wahlverlust. Wobei ein Gleichstand entsteht, wenn beide Partein diesselbe Ausrichtung haben, dann teilen sie sich auch die Stimmen. Es herrscht also ein Mehrheitswahlrecht. Die Wählerschaft soll auf dem Intervall [0,1] gleichverteilt sein. Jeder Wähler hat dabei eine eigene politische Präferenz y \in [0, 1]. Jeder Wähler wählt somit den Kandidaten für den gilt |x_j - y| < |x_i - y| \, \, \forall i \in \{1; \ldots; n\}\backslash \{j\} wobei i, j \in \{1; \ldots; n\} und n die Anzahl der antretenden Kandidaten darstellt.

Betrachtung: 2 Kandidaten

Dieses Spiel könnte zum Beispiel die Wahlen in den USA darstellen, denn das dortige Wahlsystem ähnelt sehr unseren Modellannahmen für 2 Spieler. Die Strategieräume sind für beide Kandidaten gleich, beide können sie aus dem Intervall [0,1] ihre politische Ausrichtung wählen. Die Nutzenfunktion sieht dadurch wegen der Politikwahl xi des Kandidaten i \in \{ 1, 2\} wie folgt aus:

 u_i (x_1, x_2) = \begin{cases}
1 &, \, falls \, i \, mit \, dem \, Profil \, (l_1, l_2) \, gewinnt,\\
\frac{1}{2} &, \, falls \, mit \, dem \, Profil \, (l_1, l_2) \, ein \, Gleichstand \, erzielt \, wird,\\
0 &, \, falls \, i \, mit \, dem \, Profil \, (l_1, l_2) \, verliert.\\
\end{cases}

Aus der Intuition des Spieletheoretikers ist es klar, dass die Strategie (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ein Nash-Gleichgewicht sein muss. Eine direkte Berechnung der Nash-Gleichgewichte ist zu kompliziert. Es kann aber bewiesen werden, dass (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ein Nash-Gleichgewicht ist.

Beweis

Angenommen x1 gewinnt mit seinem Profil, dass auch ein Gleichgewicht ist. Sei nun x_1 \neq \frac{1}{2}, dann kann Kandidat 2 seinen Wahlerfolg mit x_2 = \frac{1}{2} erzwingen, denn für

x_1 > \frac{1}{2}

erhält er alle Stimmen aus dem Intervall [0, \frac{x_1 + \frac{1}{2}}{2})

\Longrightarrow \pi (x_1 > \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) = 1 \geq  \pi (x_1 > \frac{1}{2}; x_2 \leq \frac{1}{2}),

bzw. für

x_1 < \frac{1}{2}

hat er alle Wähler aus dem Intervall (\frac{l_1 + \frac{1}{2}}{2}, 1 ] an seiner Seite

\Longrightarrow \pi (x_1 < \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) = 1 \geq  \pi (x_1 > \frac{1}{2}; x_2 \geq \frac{1}{2}).

Gesamt hat er also mehr als 50\% der Stimmen. Es ist also x2 die beste Antwort auf x1 was im Widerspruch zum Gewinn der Wahl von Kandidat 1 im Gleichgewicht führt. Darum muss gelten x_1 = \frac{1}{2}.

Dieser Spielausgang stellt aber nicht zufrieden, denn eigentlich sollte ja ein Spieler gewinnen, aber die beste Antwort von Kandidat 2 auf x_1 = \frac{1}{2} ist wiederum x_2 = \frac{1}{2}, womit wieder ein Gleichstand entsteht. Im Gleichgewicht kann Kandidat 1 also nicht alleine Gewinnen. Denn analog zum jetzt geführten Beweis gilt diesselbe Argumentation für Spieler 2 und somit existiert ein Nash-Gleichgewicht am Punkt (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}).

Betrachtung: 3 Kandidaten

Die Strategieräume sind für alle Kandidaten und werden durch das Intervall [0,1] dargestellt. Die Nutzenfunktion ist ähnlich zum Fall mit 2 Kandidaten:

u_i (x_1, x_2, x_3) = \begin{cases}
1 , falls \, i \,mit \, dem \, Profil \, (x_1, x_2, x_3) \, gewinnt,\\
\frac{1}{2} , \, falls mit dem Profil \, (x_1, x_2, x_3) \, ein \, Gleichstand \, um \, den \, ersten \, Platz \, erzielt \, wird,\\
0 , falls \, i \, mit \, dem \, Profil \, (x_1, x_2, x_3) \, verliert.\\
\end{cases}

Betrachtet man das vorhergehende Gleichgewicht, erweitert auf dieses Spiel, also (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) so erhalten alle Kandidaten 33\% aller Stimmen. Würde einer der Kandidaten nur leicht nach links oder rechts tendieren, ausgehend von der vorherigen Aufteilung, so kann man sehen, dass er seinen Anteil auf fast 50 \% vergrößern würde. Die Wahl dieser Strategie ergibt also kein Nash-Gleichgewicht, denn es stellt noch nicht mal eine beste Antwort dar.

Bei der Berechnung findet man viele Nash-Gleichgewichte in diesem Spiel, betrachten wir als Beispiel das Profil (\frac{1}{4}, \frac{1}{4},\frac{3}{4}). Spieler 3 gewinnt hier sicher das Spiel, deshalb wird er von dieser Strategie nicht abweichen, sollten die anderen Spieler nicht abweichen.

Lohnt es sich für die beiden Anderen abzuweichen?

Betrachten wir dazu das Teilspiel (x_1, x_3) = (\frac{1}{4}, \frac{3}{4}) (Analog (x2,x3)). Wählt Spieler 1 statt \frac{1}{4} einen Wert aus [0, \frac{1}{4}] so bleibt Spieler 3 der Gewinner, wählt er dagegen etwas aus [\frac{3}{4}, 1], so gewinnt Spieler 2 als Einziger. Fehlt in der Betrachtung nur noch das Intervall (\frac{1}{4}, \frac{3}{4}). Betrachte aus welchem Intervall man damit Wähler anziehen würden. Es sind die Wähler aus dem Intervall [\frac{x_1 + \frac{1}{4}}{2}, \frac{x_1 + \frac{3}{4}}{2}] und Spieler 1 sichert sich damit 25 \% der Stimmen. Allerdings würde damit entweder Spieler 2 (für \frac{3}{4} > x_1 > \frac{1}{2}) oder Spieler 3 (für \frac{1}{2} > x_1 > \frac{1}{4}) 37,5 \% der Stimmen erhalten. Dadurch ist die Wahl von \frac{1}{4} genauso gut wie jede andere Wahl aus dem Intervall [0,1], wenn die Handlungen der anderen vorgegeben sind und der Nutzen bleibt 0. Für die betrachtete Strategie kann keine einseitige Abweichung einen Gewinn forcieren und damit ist diese Strategie ein Nash-Gleichgewicht.

Bemerkung

Bas betrachtete Gleichgewicht ist kein starkes Gleichgewicht, denn wenn Spieler 1 und 2 gemeinsam auf einen Wert \frac{3}{4} - \varepsilon abweichen für ein \varepsilon > 0 würden sie für sich einen Gewinn, bzw. zwischeneinander einen Gleichstand erzeugen und damit einen Pay-Off von \frac{1}{2} erhalten, statt sonst einen Pay-Off von 0.

Betrachtung: 3 Kandidaten und Kosten

Zu den Strategiealternativen bei 3 Kandidaten erhalten wir nun noch die Möglichkeit, an der Wahl nicht teilzunehmen. Damit ist unser Strategieraum gegeben durch S_i = [0, 1] \cup \{ keine Teilnahme \}. Damit ergibt sich die Nutzenfunktion mit x \in \prod\nolimits_{i=1}^3 S_i: u_i (x) = \begin{cases}
1 &, \, falls \, i \, mit dem Profil \, (x) \, gewinnt,\\
\frac{1}{2} &\, falls \, mit \, dem \, Profil \, (x) \, ein \, Gleichstand \, um \, den \, ersten \, Platz \, erzielt \, wird,\\
-1 &, \, falls \, i \, mit \, dem \, Profil \, (x) \, verliert,\\
0 &, \, falls \, i \, mit \, dem \, Profil \, (x) \, nicht teilnimmt.\\
\end{cases}

Man erkennt sofort, da man nicht teilnehmen muss, müssen alle Teilnehmer zum Gleichstand um den ersten Platz kommen. Ist dies nicht der Fall, so würden sie sich auf jeden Fall besser stellen wenn sie zum Gleichstand abweichen. Außerdem kann sich nicht nur ein Kandidat zur Wahl aufstellen im Gleichgewicht, da sonst jeder andere Kandidat sich besser stellt einen Gleichstand zu erzwingen und damit den Pay-Off von \frac{1}{2} mitzunehmen, statt nichts zu erhalten. Aus denselben Gründen kann es kein Gleichgewicht sein, wenn keiner teilnimmt. Deshalb müssen mindestens 2 Spieler um den Gleichstand kämpfen, dann müssten sie aber beide x_i= \frac{1}{2} wählen und der dritte Spieler könnte einen Gewinn erzwingen, indem er einfach wieder etwas zu einer Seite um x_i = \frac{1}{2} tendiert, da man sich die Gesamtstimmenanzahl teilt. Damit würde aber der Teilnahmenverzicht nicht die beste Antwort sein und man befindet sich nicht in einem Gleichgewicht.

Die letzte Möglichkeit ist damit, dass sich alle für einen Gleichstand positionieren.

Angenommen es gilt nun solch ein Gleichgewicht mit (x1,x2,x3). Gilt x1 = x2 = x3 so ist es für jeden Spieler effektiv abzuweichen und so einen Gewinn für sich zu erzielen (dies passiert, da sich dann 2 Spieler den einen Intervallteil teilen müssen, der Abweichende aber den ihm näher liegenden Intervallteil komplett für sich beanspruchen kann), damit müssen sich mindesten 2 Politikprofile unterscheiden. Sei nun x_1 \neq x_2 = x_3, dann kann x1 einen Gewinn erzwingen indem er ganz nahe an x2 herangeht. Damit ist diese Wahl von x2 nicht die beste Antwort und damit kein Gleichgewicht. Selbiges gilt für andere Kombinationen bei denen es nur 2 unterschiedliche Positionierungen gibt.

So bleibt der letzte Fall in dem keine Positionierung gleich ist. Hier wählen wir xy = min(x1,x2,x3) und lassen xy sich sehr nah an die mittlere der 3 Positionierungen annähern. Damit wird wieder ein Gewinn für xy erzwungen, so dass dies kein Gleichgewicht sein kann. Es kann also in diesem Spiel kein Nash-Gleichgewicht geben.

Ausblick und Fazit

Dieses Spiel ist sehr beispielhaft. Der 2 Spieler-Wahlkampf erzeugt durch den Kampf um Stimmen ein Verwässern der politischen Aussage. Statt 2 gegensätzliche Positionen zu vertreten, strebt man einen Politik an, die dem Gegenkandidaten ähnelt um soviele Stimmen wie möglich zu erhalten.

Auch ein Mehrparteiensystem wird gut beschrieben, wie man in Deutschland beobachten kann, können bestimmte Positionen alt eingesessene Politikstandpunkte aufweichen.

mögliche Varianten

  • Um das Spiel auszubauen könnte man ein Wahlvolk betrachten, dass asymmetrische Vorlieben hat.
  • Eine andere Variante wäre es das Spiel für eine endliche Zahl von Wählern und eine ungerade endliche Anzahl von Wahlprogrammen zu modellieren. (Dieses Spiel führt zu einem Condorcet-Zyklus)

Quellen

Dieses Spiel ist eine Adaptation von Hotelling's Modell des Wahlkampfes nach Martin J. Osborne, An Introduction to Game Theory.

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