Winner's curse I

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Ein Beispiel aus der Wirtschaft

Geben unterschiedliche Bauunternehmen ein Angebot ab, um einen öffentlichen Auftrag beispielsweise zum Bau einer Autobahn zu erhalten, dann kennen sie zum Zeitpunkt der Angebotsabgabe nicht die genauen Kosten, die sie für die Erstellung des Bauwerks aufbringen müssen. Sie leiden unter einem Informationsdefizit. Selbst wenn die tatsächlichen Kosten für alle Bewerber gleich sind, werden die von den Bauunternehmen kalkulierten Kosten unterschiedlich sein, denn die beteiligten Ingenieure schätzen beispielsweise einige Risiken oder Gewerke unterschiedlich ein. Die Bauunternehmen besitzen private Information über die Kosten des Projekts.

Man gehe der Einfachheit halber von folgendem Beispiel aus: Die tatsächlichen Kosten betragen x Euro. Jedes der beteiligten 5 Bauunternehmen erhält ein stochastisches Signal, das die Kosten unpräzise angibt: Die Signale haben mit gleicher Wahrscheinlichkeit die Werte x-2, x-1, x, x+1, x+2, so dass der Erwartungswert den tatsächlichen Kosten entspricht. Im Durchschnitt entsprechen die kalkulierten Kosten den tatsächlichen.

Der Auftrag wird an das Bauunternehmen mit dem geringsten Angebot vergeben. Dieses Unternehmen erhält als Zahlung vom Auftraggeber den gebotenen Betrag als Auftragssumme.

Mit welchem Gebot sollte sich ein Bauunternehmen an der Ausschreibung beteiligen, für die es den Schätzwert \theta \in \left\{x-2, x-1, x, x+1, x+2 \right\} errechnet hat. Bietet es knapp oberhalb von θ, dann erwartet das Unternehmen, sollte es den Zuschlag erhalten, einen positiven Gewinn. Da nur ganzzahlige Gebote akzeptiert werden, schein das Gebot θ + 1 sinnvoll zu sein. Tatsächlich ist mit diesem Gebot der Fluch des Gewinners (winner's curse) verbunden. Das Unternehmen hat nicht beachtet, dass auch die Mitbewerber Informationen über die Kosten erlangen und dementsprechend bieten. Geht man davon aus, dass alle Mitbewerber derselben Regel folgen, einen Betrag zu bieten, der eine Einheit über den kalkulierten Kosten liegt. Sollte man mit dem Gebot θ + 1 den Zuschlag erhalten, dann doch nur, falls das eigene θ den geringsten aller möglcihen Werte besitzt, d.h. θ = x − 2 beträgt. In diesem Fall bietet man z = θ + 1 = x − 2 + 1 = x − 1. Die erwarteten Kosten des Projekts betragen jedoch x, so dass man einen erwarteten Verlust in Höhe von 1 erleidet. Man erhält den Auftrag nur, wenn man mit deutlich zu niedrigen Kosten kalkuliert hat.

Das Gebot z = θ + 1 ist also keine Gleichgewichtsstrategie. Es ist optimal das Angebot stärker über die kalkulierten Kosten zu erhöhen. In unserem Beispiel kann der Bauunternehmer davon ausgehen, dass er den Auftrag nur erhält, wenn er das kleinste Signal (x − 2) für seine Kosten erhält. Wenn er also z = θ + 2 bietet, dann ist sein Erwartungsnutzen gleich null. Damit er Gewinn erzielen kann, muss er sogar z = θ + 3 bieten, denn dann realisiert er im Falle, dass er den Zuschlag erhält (er erhält im Gleichgewicht den Zuschlag nur, falls θ = x − 2), einen Nettonutzen von

U = − x + (θ + 3) = − x + (x − 2 + 3) = 1 (-x sind die Kosten und θ+3 ist die Auftragssumme).

Verhalten sich alle Mitbewerber genauso, dann gewinnt er die Ausschreibung in 20 Prozent der Fälle und erhält einen Erwartungsnutzen von U={1 \over 5}.1={1 \over 5}.

Sind diese Strategien Gleichgewichtsstrategien, oder sollte man ein geringeres Angebot machen um den Auftrag häufiger zu erhalten? Kann man mit einem geringen Verlust leben, wenn man das kleinste Signal erhält, um den Auftrag auch dann zu erhalten, wenn man nur das zweitniedrigste Signal erhalten hat, weil der dann höhere Gewinn den Verlust überkompenisert? Um mit dem zweitniedrigsten Signal zu gewinnen muss man z = θ + 2 bieten, um mit dem Unternehmen gleichzuziehen, das das niedrigste Signal erhalten hat und die Strategie z = θ + 3 wählt. Bei zwei gleichen Geboten gehen wir davon aus, dass man mit der Wahrscheinlichkeit von 50 Prozent zum Zuge kommt. Der erwartete Nettonutzen beim Zuschlag mit dem zweitniedrigsten Signal und der Strategie z beträgt dann

U={1 \over 2}(-x+(\theta+2))={1 \over 2}(-x+(x-1+2))={1 \over 2}.

Da das Unternehmen nicht weiss, ob es das niedrigste oder das zweitniedrigste Signal erhalten hat, muss es die z = θ + 2 Strategie auch anwenden, wenn das Signal das niedrigste x-2 ist: Es gewinnt und erhält

U = − x + (x − 2 + 2) = 0.

Der Gesamtnutzen für diese Strategie beträgt

U={1 \over 5}.{1 \over 2}+{1 \over 5}.0={1 \over 10}

und ist somit kleiner als bei der Gleihgewichtsstrategie. Im Gleichgewicht bieten alle Beteiligten einen um 3 höheren Betrag als ihre Kostenkalkulation ergeben hat. Im Gleichgewicht existiert kein Fluch des Gewinners.

Auktionen

Winner's curse tritt auch bei Auktionen auf, bei denen ein Objekt versteigert wird, das für alle Bieter den selben Wert besitzt, der aber unbekannt ist. Beispielsweise ist das der Fall, wenn die Bohrrechte für ein Ölfeld versteigert werden. Selbst wenn alle Bieter eine im Erwartungswert korrekte Schätzung des unbekannten Wertes besitzen, führt ein Gebot in Höhe des eigenen Schätzwertes zum Fluch des Gewinners. Man gewinnt nur, wenn man das höchste Gebot abgegeben hat. In diesem Fall hat man aber mit hoher Wahrscheinlichkeit überschätzt, da alle anderen Bieter ein geringeres Gebot abgegeben haben. Gerade unerfahrene Bieter geben in der Realität häufig zu hohe Gebote ab. Bei einer grossen Bietergruppe wird dieser Effekt oftmals verstärkt, da einzelne Bieter befürchten, andernfalls keinen Zuschlag zu erhalten. Trifft man also auf eine grosse Bietergruppe mit unerfahrenen Bietern, so ist die Gefahr gross, den Zuschlag nur mit einem Gebot zu erhalten, das über dem Wert des Auktionsobjektes liegt.

Bei Ausschreibungen, bei denen man den Zuschlag für das niedrigste Gebot erhält, kann es in der Praxis sinnvoll sein, aus strategischen Gründen und im Gegensatz zur Hochgebotstrategie wegen winner's curse niedrigere Gebote als den eigenen Schätzwert abzugeben. Haftet man nur mit seiner Konkursmasse, kann es rational sein, niedrige Gebote abzugeben, da man für etwaige Verluste nur beschränkt haftet. Dasselbe gilt, falls man nach dem Zuschlag nachverhadeln kann und Gewinne durch über die Ausschreibung hinausgehende Leistungen erwirtschaftet.

Siehe auch

Signalisierungsspiele

Bayes-Spiele

Winner's Curse (Auktionen)

Quellen

Gernot Sieg: Volkswirtschaftslehre

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