Zusammenhang: Dynamisches-, Nash-, (asymptotisch) stabiles Gleichgewicht und ESS

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Die Begriffe dynamisches Gleichgewicht (Fixpunkte der Replikatorgleichung), Nash-Gleichgewicht, stabiles Gleichgewicht (siehe Stabilität), asymptotisch stabiles Gleichgewicht (siehe Stabilität) und Evolutionär stabile Strategie wurden bereits definiert. Im Folgenden wird nun ein kurzer Überblick gegeben, wie diese miteinander in Verbindung stehen.


Dazu definieren wir uns:

  • ΔESS als die Menge der evolutionär stabilen Strategien
  • ΔASY als die Menge der asymptotisch stabilen Strategien
  • ΔST als die Menge der stabilen Strategien
  • ΔN als die Menge der symmetrischen Nash-Gleichgewichte
  • Δo als die Menge der dynamischen Gleichgewichte


Nun gilt


Satz 1
Sei (x,x) ein Nash-Gleichgewicht, so ist x ein dynamisches Gleichgewicht ( \Delta^{N} \subset \Delta^{o} )


Satz 2
Sei x ein stabiles Gleichgewicht, so ist (x,x) ein Nash-Gleichgewicht ( \Delta^{ST} \subset \Delta^{N} )


Satz 3
Sei x eine ESS, so ist x asymptotisch stabiles Gleichgewicht ( \Delta^{ESS} \subset \Delta^{ASY} )


Satz 4
Ist x ein asymptotisch stabiles Gleichgewicht, so ist x auch stabiles Gleichgewicht ( \Delta^{ASY} \subset \Delta^{ST} ) (siehe Stabilität)


Als Ergebnis dieser Aussagen notieren wir:
 \Delta^{ESS} \subset \Delta^{ASY} \subset \Delta^{ST} \subset \Delta^{N} \subset \Delta^{o}


Zum Beweis von Satz 1

Wenn (p,p) ein Nash-Gleichgewicht ist, dann ist p ein dynamisches Gleichgewicht. Aber die Umkehrung gilt nicht.

Sei  F: R^m \leftrightarrow R^m die Replikatordynamik definiert durch:


 F_i(x) = x_i(e^T_iAx - x^TAx) .


 p \in S^m ist ein dynamisches Gleichgewicht von A ( p \in S^m heißt dynamisches Gleichgewicht des durch die Matrix A beschriebenen Spiels, falls p ein Fixpunkt der Replikatorgleichung ist), d.h. F(p) = 0. Äquivalent dazu ist, dass jede reine Strategie i, die gespielt wird, d.h. pi > 0, dieselbe Auszahlung erzielt wie die gemischte Strategie p:


 p_i > 0 \Rightarrow e^T_iAp = p^TAp. (1)


Ist p ein Nash-Gleichgewicht, so gilt die Gleichung (1). Da jede reine Strategie Gleichung (1) erfüllt, gilt die Umkehrung nicht. Wenn alle Spieler dieselbe reine Strategie anwenden, dann ist ein Fixpunkt erreicht, der kein Nash-Gleichgewicht sein muss.

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